Se L é livre de contexto, FH (L) deve ser livre de contexto?

Defina . Em outras palavras, é o conjunto de primeiras metades de cadeias de comprimento, mesmo em . Diante disso, se é livre de contexto, ser livre de contexto?$FH(L) = \{x \in \Sigma^* : \exists y \in \Sigma^* \text{ with } |x| = |y| \text{ such that } xy \in L\}$$FH(L)$$L$$L$$FH(L)$

Aqui está minha tentativa de prova:

Como é uma CFL, existe um PDA não determinístico que reconhece , , em que é o alfabeto de entrada, é a pilha alfabeto e é o símbolo que representa o conteúdo inicial da pilha. Construa PDA de , com , definido da seguinte forma:$L$$L$$M = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$$\Sigma$$\Gamma$$Z_0$$M'$$M$$M' = (Q', \Sigma, \Gamma, \delta', q_0', Z_0, F')$

$Q' = {q_0'} \cup (Q \times \Gamma_{\varepsilon}) \times (Q \times \Gamma_{\varepsilon}) \times (Q \times \Gamma_{\varepsilon})$ .

$F' = \{[(q,X),(q,X),(p,Y)] : X,Y \in \Gamma_\varepsilon \text{ and } p \in F\}$

$\delta'(q'_0, \varepsilon, \varepsilon) = \{([(q,X), (q_0,Y), (q,X)], \varepsilon) : q \in Q \text{ and } X,Y \in \Gamma_\varepsilon \}$

$\delta'([(q,X),(p,Y),(r,Z)], a, \varepsilon) = \{([(q,X),\delta(p,a,Y), \delta(r,b,Z)], \varepsilon): X,Y,Z \in \Gamma_\varepsilon\ \text{ and } b \in \Sigma\}$

O primeiro componente de um estado em registra o estado adivinhado e não muda depois que é gravado inicialmente. O segundo elemento registra em que estado estamos depois de processar algum prefixo da entrada x, começando no estado , e o terceiro elemento registra em que estado estamos depois de ter processado algum prefixo do adivinhado , começando em .$Q'$$q$$q_0$$y$$q$

Não tenho certeza se essa prova funciona, porque estou um pouco confuso sobre o que fazer com a pilha para .$M'$

A intuição desenvolvida nos comentários está correta. A resposta é NÃO, existe um contra-exemplo, uma CFL para a qual as primeiras metades não são CFL.

$L = \{ a^m b^n c^n a^{3m} \mid m,n\ge 1 \}$ , sobre o alfabeto , da resposta em nosso site irmão .$\{a,b,c\}$

Prova do lema de bombeamento: escolha ; o bombeamento destrói a propriedade " " - ou a "primeira metade".$a^p b^p c^p \in \mathrm{FH}(L)$$b^n c^n$

Uma leve adaptação desse idioma é , sobre o alfabeto . Agora podemos "forçar" o ponto onde está o local de corte do primeiro semestre e obter outra técnica de prova.$K = \{ a^m b^n c^n \#\# a^{3m} \mid m,n\ge 1 \}$$\{a,b,c,\#\}$

Seja . Isso significa que consideramos apenas as primeiras metades em que o meio está exatamente no ponto entre os dois símbolos . Portanto. , ou . Assim, . Agora, se é livre de contexto, é livre de contexto (através da interseção da propriedade de fechamento por linguagens regulares). Essa linguagem está próxima de um exemplo padrão sem contexto . Por sua vez, isso pode ser obtido pelo quociente à direita com que também preserva a ausência de contexto .$H = FH(K) \cap a^*b^*c^*\#$$\#$$m+2n+1=1+3m$$m=n$$H=\{a^nb^nc^n \mid n\ge 1\}\#$$K$$H$$\{a^nb^nc^n \mid n\ge 1\}$$\#$