Quanto podemos reduzir o número de cláusulas convertendo de -SAT para -SAT?

Se supusermos que começamos com uma instância de -SAT e tentarmos converter o problema em uma instância de -SAT, onde existem literais por cláusula, podemos garantir uma redução no quantidade total de cláusulas?$k$$(k+m)$$(k+m)$

Depois de postar, percebi que não podemos garantir que o número de cláusulas possa ser reduzido. No entanto, gostaria de saber se temos cláusulas, poderíamos obter algo como cláusulas por alguma técnica de "redução"?$n$$n/k + O(1)$

Em caso afirmativo, quanto podemos garantir que o número total de cláusulas possa ser reduzido em? Por exemplo, se começarmos com -SAT com cláusulas , qual é a menor garantida , a nova quantidade de cláusulas que resultará se convertermos essa instância em -SAT?$k$$n_k$$n_{k+m}$$(k+m)$

Mais importante, como realizamos essa conversão?

Um tipo de conversão é simplesmente o inverso da conversão k-sat-para-3-sat:

Lembre-se, a conversão de k-sat em "j" -sat, $j<k$:

Aqui, $d$é uma variável fictícia, que significa algo como "Esta cláusula não é verdadeira, mas outra cláusula que eu conheço é". A outra cláusula é a cláusula seguinte que foi separada da original. O exemplo acima é um exemplo em que$2j \geq k$, caso contrário, o segundo nó de divisão ainda será maior que $j$, e devemos dividi-lo novamente, da mesma maneira.

Invertendo a conversão

$(x_1 \vee x_2 ... x_j) \wedge (\overline x_j \vee x_{j+1} \vee ... x_k)$ então você pode combinar as cláusulas em:

$(x_1 \vee x_2 ... x_{j-1} \vee x_{j+1} \vee x_{j+2} \vee ... x_k)$

Observe a falta $x_j$ nesta nova fórmula.

Obviamente, você não tem garantia de encontrar cláusulas como essa em uma fórmula arbitrária, portanto, a menor garantia$n_{k+m}$ é igual a $n_k$.

No entanto, em fórmulas comuns, uma variável e sua negação aparecerão na fórmula; caso contrário, você pode executar a eliminação literal literal (descrita aqui ). Para simplificar, vamos também assumir que$k+m \geq 2k-2$. Então podemos combinar duas cláusulas que contêm um literal em uma e sua negação na outra. Como todo literal deve ter outra cláusula com negação, pode-se adivinhar empiricamente que você deve ser capaz de reduzir pela metade o número de cláusulas (você pode ficar preso a alguns literais e suas negações em cláusulas já unidas e, assim, ficará preso a algumas cláusulas não articuláveis ​​no final; juntar cláusulas como essa pode ser outro problema interessante).

EDITAR:

Após reflexão, percebi que $x_j$deve ser gratuito e não ser usado em nenhum outro lugar da fórmula para recolher as duas cláusulas às quais pertence. Portanto, esse tipo de cláusula (uma contendo um literal e a outra sua negação, com esse literal não sendo usado em nenhum outro lugar da fórmula) é muito mais raro do que eu pensava anteriormente. Portanto, a resposta real é que não há garantia de quanto podemos reduzir o número de cláusulas na fórmula.