Tamanho do circuito para "pelo menos n entradas são verdadeiras"

Diga que você tem $m$ entradas booleanas e você recebe um limite $n$. Você precisa construir um circuito booleano que avalie verdadeiro se pelo menos$n$das entradas verdadeiras. Você pode usar as portas AND, OR, NOT ou XOR (restritas à entrada de dois, com saída arbitrária). Assintoticamente, quão pequeno você pode fazer esse circuito?

Qualquer limite superior razoavelmente apertado seria apreciado. Continuo pensando em maneiras de construir recursivamente esse circuito, mas não consigo encontrar nada de bom. Além disso, quaisquer resultados para qualquer outra base razoável de portões permitidos também seriam úteis.

De S. Chaudhuri, J. Radhakrishnan. Restrições determinísticas na complexidade do circuito :

Teorema 6.1 : Uma computação em circuito$T_k^n$ com $k \leq n^{1/3}$ tem $\Omega(k^2(\ln n)/\ln k)$ portões

Onde $T_k^n$ é a função booleana que possui o valor 1 se pelo menos $k$de suas entradas possui o valor 1 ( função de limite ).

Podemos obter algum tipo de limite superior de algumas inclusões de complexidade.

$TC^{0}$ é a classe de circuitos booleanos de profundidade constante de tamanho polinomial, onde também temos um $MAJORITY$ portão de fan-in ilimitado, então há um tamanho $1$ $TC^{0}$ circuito que calcula a função desejada (um $MAJ$ portão com todas as entradas).

$NC^{1}$ é a classe de circuitos booleanos de tamanho polinomial e $O(\log n)$profundidade (mas aqui só temos os portões normais). Sabe-se que$TC^{0} \subseteq NC^{1}$, então, na pior das hipóteses, você pode calcular $MAJ$ com um tamanho poli $O(\log n)$ circuito de profundidade.

Eu suspeito que como você só precisa $MAJ$, podemos fazer melhor, mas ainda não consegui obter uma boa referência para isso. A "Introdução à complexidade do circuito" de Vollmer deve ter a redução, mas não tenho uma cópia disponível. Também deve haver uma redução uniforme (ou seja, para uma entrada de tamanho$n$ podemos produzir eficientemente o circuito apropriado).

Esta questão no cstheory.SE também pode ter algo útil para você, mas é bastante técnico.

com $T_k^n$ uma função de limiar padrão definida como na resposta Vors, $T_k^n$é uma função simétrica. th 2.11.1 em Savage [1] fornece uma$O(n)$ circuito de tamanho.

[1] Modelos de computação , John E Savage