Uma caracterização de profundidade fixa de

Esta é uma pergunta sobre a complexidade do circuito. (As definições estão na parte inferior.)

Yao e Beigel-Tarui mostraram que toda família de circuitos de tamanho possui uma família de circuitos equivalente de tamanho de profundidade dois , em que a porta de saída é uma função simétrica e o segundo nível consiste de portões de $ACC^0$ $s$ $s^{poly(\log s)}$ $AND$ $poly(\log s)$ fan-in. Este é um "colapso de profundidade" bastante notável de uma família de circuitos: de um circuito de profundidade 100, você pode reduzir a profundidade para 2, com apenas uma explosão quase polinomial (e um portão sofisticado, mas ainda restrito, no topo).

Minha pergunta: existe alguma maneira conhecida de expressar uma família de circuitos , da mesma forma? Mais ambiciosamente, que tal uma família de circuitos ? As respostas possíveis teriam a seguinte forma: "Todo circuito de tamanho pode ser reconhecido por uma família de duas profundidades de tamanho , em que a porta de saída é uma função do tipo e o segundo nível de portas possui o tipo " . $TC^0$ $NC^1$ $TC^0$ $s$ $f(s)$ $X$ $Y$

Não precisa ser a profundidade dois, qualquer tipo de resultado de profundidade fixa seria interessante. Provar que todo circuito pode ser representado em profundidade 3 por um circuito que consiste apenas de portas de função simétricas seria muito interessante. $TC^0$

Algumas pequenas observações:

Se a resposta é trivial para qualquer função booleana (podemos expressar qualquer função como um de s). Para concretude, vamos requerer . $f(n)=2^n$ $OR$ $2^n$ $AND$ $f(n) = 2^{n^{o(1)}}$
A resposta também é trivial se é permitido que ou seja uma função arbitrária computável em ... :) Obviamente, estou interessado em funções "mais simples", o que quer que isso signifique. É um pouco escorregadio de definir porque existem famílias de funções simétricas que são incontestáveis. (Existem linguagens unárias que são incontestáveis.) Se desejar, você pode simplesmente substituir e por funções simétricas na declaração, no entanto, eu estaria interessado em outras opções simples de portões. $X$ $Y$ $TC^0$ $X$ $Y$

(Agora, para algumas lembranças breves da notação:

$ACC^0$ $AND$ $OR$ $MOD_m$ $m > 1$ $MOD_m$ $1$ $m$

$TC^0$ $MAJORITY$

$NC^1$ $AND$ $OR$ $NOT$

$ACC^0 \subseteq TC^0 \subseteq NC^1$

cc.complexity-theory circuit-complexity upper-bounds

— Ryan Williams
fonte

k

$k$

k + 1

$k+1$

T C^{0}

$TC^0$

T C^{0}

$TC^0$

N C^{1}

$NC^1$

Ryan, não vejo que tipo de resposta você está procurando aqui. Se você está realmente falando sobre portões simétricos, então (já que eles podem ser simulados por maioria na profundidade dois), sua pergunta é equivalente ao colapso do TC0 em profundidade constante (talvez com algum aumento super polinomial leve no tamanho) - um bem conhecido problema em aberto. Se você está disposto a "relaxar" a simetria, o resultado de Barrington parece tão bom quanto você pode esperar?

— Noam

@ Noam: eu gostaria de ver se existem outras respostas interessantes; se não houver, entregarei o 300 ao Lance. Também existem possibilidades intermediárias, por exemplo, circuitos de profundidade três com uma função simétrica na saída, mas não necessariamente simétrica nas outras duas camadas. De qualquer forma, fazê-lo pensar por 5 minutos já vale a recompensa de 300.

— Ryan Williams

E agora (depois de 08 de novembro), sabemos a origem desta pergunta ...

— slimton

$TC^0$ $AC^0$ $TC^0$ $A$ $TC^0$ $f$ $\sharp AC^0$ $k$

$x \in A$ $f(x) = 2^{|x|^k}$

$\sharp AC^0$ $Z$ $x_i$ $1-x_i$

Dado que, como Boaz aponta em sua resposta, há uma redução de profundidade não trivial para circuitos aritméticos, isso pode ser algo a se investigar.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
fonte

$NC^1$

— Lance Fortnow
fonte

Concordo que o teorema de Barrington implica algo interessante aqui. Mas esta porta de saída é uma função muito "não-simétrica" :)

— Ryan Williams

Na verdade, parece que você obtém um circuito de profundidade 1 ... Representando uma permutação como (digamos) uma matriz booleana 5x5, são apenas projeções para o portão de permutação-multiplicação.

— Noam

$f:{0,1}^n\rightarrow{0,1}^n$ $O(\log n)$ $O(n)$ $g$ $NC_0[n^{\epsilon}]$ $f$ $2^{n-o(n)}$ $f$ $g$ $NC^1$

— Boaz Barak
fonte

T C^{0}

$TC^0$

O (n / (ε \log \log n))

$O(n/(\varepsilon \log \log n))$

ε \log n

$\varepsilon \log n$

g

$g$

f

$f$

Kristoffer, você pode adicionar seu link como uma resposta separada? Obrigado!

— Ryan Williams

o (n)

$o(n)$

n^{ϵ}

$n^{\epsilon}$

2^{n - o (n)}

$2^{n-o(n)}$