Atualização de intervalo + consulta de intervalo com árvores indexadas binárias

Estou tentando entender como as árvores indexadas binárias (árvores fenwick) podem ser modificadas para lidar com consultas e atualizações de intervalo.

Encontrei as seguintes fontes:

http://kartikkukreja.wordpress.com/2013/12/02/range-updates-with-bit-fenwick-tree/ http://programmingcontests.quora.com/Tutorial-Range-Updates-in-Fenwick-Tree http : //apps.topcoder.com/forums/? module = ThreadID da thread & = 756271 & start = 0 & mc = 4 # 1579597

Mas, mesmo depois de ler todos eles, eu não conseguia entender qual é o objetivo da segunda árvore indexada binária ou o que ela faz.

Alguém poderia me explicar como a árvore indexada binária é modificada para lidar com isso?

Suponha que você tenha uma matriz vazia:

0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  (array)
0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  (cumulative sums)

E você queria fazer uma atualização de intervalo de +5 a [3..7]:

0  0  0  5  5  5  5  5  0  0  (array)
0  0  0  5 10 15 20 25 25 25  (desired cumulative sums)

Como você pode armazenar as somas cumulativas desejadas usando duas árvores indexadas binárias?

O truque é usar duas árvores indexadas binárias, BIT1 e BIT2, onde a soma cumulativa é calculada a partir do seu conteúdo. Neste exemplo, aqui está o que armazenaríamos nas duas árvores:

0   0   0   5   5   5   5   5   0   0  (BIT1)
0   0   0  10  10  10  10  10 -25 -25  (BIT2)

Para encontrar sum[i], você calcula isso:

sum[i] = BIT1[i] * i - BIT2[i]

Por exemplo:

sum[2] = 0*2 - 0 = 0
sum[3] = 5*3 - 10 = 5
sum[4] = 5*4 - 10 = 10
...
sum[7] = 5*7 - 10 = 25
sum[8] = 0*8 - (-25) = 25
sum[9] = 0*9 - (-25) = 25

Para atingir os valores BIT1 e BIT2 desejados para a atualização anterior do intervalo, fazemos três atualizações de intervalo:

• Precisamos fazer uma atualização de intervalo de +5 nos índices 3..7 para o BIT1.

• Precisamos fazer uma atualização de intervalo de +10 nos índices 3..7 para o BIT2.

• Precisamos fazer uma atualização de intervalo de -25 aos índices 8..9 para o BIT2.

Agora vamos fazer mais uma transformação. Em vez de armazenar os valores mostrados acima para o BIT1 e o BIT2, na verdade armazenamos suas somas cumulativas. Isso nos permite fazer as 3 atualizações de intervalo acima, fazendo 4 atualizações nas somas cumulativas:

BIT1sum[3] += 5
BIT1sum[8] -= 5
BIT2sum[3] += 10
BIT2sum[8] -= 35

Em geral, o algoritmo para adicionar um valor v a um intervalo [i..j] seria:

BIT1sum[i]   += v
BIT1sum[j+1] -= v
BIT2sum[i]   += v * (i-1)
BIT2sum[j+1] -= v * j

onde a sintaxe + = e - = significa simplesmente atualizar a estrutura de dados de soma acumulada BIT com um valor positivo ou negativo nesse índice. Observe que quando você atualiza a soma acumulada do BIT em um índice, isso afeta implicitamente todos os índices à direita desse índice. Por exemplo:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (original)

BITsum[3] += 5

0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 (after updating [3])

BITsum[8] -= 5

0 0 0 5 5 5 5 5 0 0 (after updating [8])

$O(\log n)$