Variáveis distintas para diferentes cláusulas

Na prova do teorema da resolução, normalmente é assumido que variáveis em diferentes cláusulas são distintas. Isso não é algo que acontece automaticamente; requer código extra significativo e computação para implementar. Dado isso, estou procurando um caso de teste para ele.

O problema é que, em todos os casos de teste que eu tentei até agora, não faz diferença. Presumivelmente, importa apenas em casos extremos incomuns. Como a Wikipedia coloca, "variáveis em cláusulas diferentes são distintas ... Agora, unificar Q (X) na primeira cláusula com Q (Y) na segunda cláusula significa que X e Y se tornam a mesma variável de qualquer maneira".

Existem casos de teste conhecidos que darão a resposta errada se cláusulas diferentes usarem as mesmas variáveis?

logic automated-theorem-proving

— rwallace
fonte

Edit: Encontrei um exemplo melhor. Considere estas cláusulas: Obviamente, esse conjunto de cláusulas é contraditório. Mas sem renomear variáveis, o único resolvente possível é e não são mais possíveis - todos levam à substituição de por , o que é impossível.

\begin{aligned} \neg P (x) \lor P (f (x)) \\ P (x) \\ \neg P (f (f (x))) \end{aligned}

$\begin{align} & \lnot P(x) \lor P(f(x)) \\ & P(x) \\ & \lnot P(f(f(x)))\\ \end{align}$

P (f (x))

$P(f(x))$

f (x)

$f(x)$

x

$x$

Editar: considere o significado das cláusulas. Cada cláusula é implicitamente quantificada universalmente. Portanto, o significado de suas variáveis não está fixo em nada. Agora, digamos que você tenha duas cláusulas, ambas contendo . Se você executar a resolução sem renomear em uma delas, adicione um significado a que não possui: você diz que significa a mesma coisa nas duas cláusulas, o que não é verdade. Se você não tiver variáveis distintas em suas cláusulas, a resolução fornecerá conclusões muito fracas. $x$ $x$ $x$ $x$

(A resposta original.) Por exemplo, vamos ter 4 cláusulas:

$A\lor B(x)$
$\lnot A\lor C(x)$
$\lnot B(c)$
$\lnot C(d)$

onde são variáveis constantes . Se executarmos a resolução nos dois primeiros sem renomear , obteremos . Podemos prosseguir com para obter mas agora não podemos resolvê-lo com . $x, y$ $c, d$ $x$ $B(x)\lor C(x)$ $\lnot B(c)$ $C(c)$ $\lnot C(d)$

Por outro lado, se renomearmos para no segundo para ter um conjunto de variáveis separado, obteremos na primeira etapa da resolução e podemos derivar uma cláusula vazia usando e . $x$ $y$ $B(x)\lor C(y)$ $\lnot B(c)$ $\lnot B(d)$

— Petr Pudlák
fonte

Quando tento isso no meu provador com variáveis distintas desabilitadas, ele resolve com para fornecer , obtém da mesma forma e, portanto, a cláusula vazia, portanto o resultado final é o mesmo. Estou esquecendo de algo?

B (x)

$B(x)$

\neg B (c)

$\lnot B(c)$

A

$A$

\neg A

$\lnot A$

— precisa saber é o seguinte

@rwallace Não ter variáveis distintas não significa que você não pode derivar a cláusula vazia, apenas que os métodos não estão completos. Se você sempre renomear variáveis, não importa em que ordem você escolhe cláusulas, sempre derivará a cláusula vazia se o conjunto original for insatisfatório - o método está completo. Mas, se você não renomear variáveis, (como o exemplo mostra), a ordem é subitamente importante - algumas seqüências de derivações não encontrarão a cláusula vazia. E, um provador não pode "contar" antecipadamente qual sequência de derivações é a correta.

— Petr Pudlák 6/09/12

Mas não é o caso de um método completo eventualmente tentar todas as derivações possíveis (a menos que encontre a cláusula vazia primeiro)? Para ter certeza de que não há garantia, ele tentará as derivações mencionadas antes das mencionadas, mas quando as mencionadas falham por falta de variáveis distintas, as mencionadas ainda estão abertas e um método completo deve voltar e tentar aqueles mais cedo ou mais tarde?

— precisa saber é o seguinte

Seu adendo em relação ao significado das cláusulas no resumo faz sentido, mas parece-me que, se for assim, deve ser possível encontrar um caso de teste, algo que eu possa alimentar um provador e fazer com que ele dê a resposta errada se o recurso de variáveis distintas está desativado. Só não consegui encontrar um caso de teste até agora.

— rwallace

@rwallace Por que você quer fazer isso? A resolução é um método completo e você sabe que, em qualquer circunstância, é necessário executar a resolução em cada par de cláusulas apenas uma vez. Você sugere, eventualmente, tentar todas as sequências possíveis como proceder com o retorno. Isso resultará em um aumento realmente enorme da complexidade do algoritmo, nem remotamente comparável com o simples nome de variáveis em cada etapa.

— Petr Pudlák

Variáveis ​​distintas para diferentes cláusulas

Variáveis distintas para diferentes cláusulas