Como é possível decidir se

130

Foi-nos dado o seguinte exercício.

Deixei

$\qquad \displaystyle f(n) = \begin{cases} 1 & 0^n \text{ occurs in the decimal representation of } \pi \\ 0 & \text{else}\end{cases}$

Prove que é computável. $f$

Como isso é possível? Até onde eu sei, não sabemos se contém todas as seqüências de dígitos (ou quais) e um algoritmo certamente não pode decidir que alguma sequência não está ocorrendo. Portanto, acho que não é computável, porque o problema subjacente é apenas semi-decidível. $\pi$ $f$

computability undecidability

— Rafael
fonte

Perdoe-me por ser completamente ignorante, obviamente estou perdendo algum ponto fundamental da pergunta, mas nem sempre 0 ^ n é 0? Como a 32ª casa decimal se pi é 0, isso não significa que f (n) sempre retorna 1?

— Cory Klein

n

$n$

n

$n$

a^{5} = a a a a a

$a^5 = aaaaa$

0

$0$

Respostas:

133

Existem apenas duas possibilidades a considerar.

$n$ $0^n$ $\pi$

$N$ $0^N$ $\pi$ $N$

Zeros-in-pi(n):
 if (n > N) then return 0 else return 1

$N$ $n$ $\pi$

Observe a diferença sutil com o seguinte esboço de prova proposto por gallais :

Pegue uma máquina de Turing aleatória e uma entrada aleatória.

Ou a computação continuará para sempre ou parará em algum momento e há uma função computável (constante) descrevendo cada um desses comportamentos.

???

Lucro!

Alex ten Brink explica:

observe o que o teorema de Halting afirma: ele diz que não existe um programa único que possa decidir se um determinado programa é interrompido. Você pode facilmente criar dois programas, de modo que um deles calcule se um determinado programa pára: o primeiro sempre diz 'pára', o segundo 'não pára' - um programa sempre está certo, mas não podemos calcular qual deles deles é!

sepp2k acrescenta:

No caso do exemplo de Alex, nenhum dos algoritmos retornará o resultado correto para todas as entradas. No caso desta pergunta, um deles será. Você pode afirmar que o problema é decidível porque você sabe que existe um algoritmo que produz o resultado certo para todas as entradas. Não importa se você sabe qual é esse algoritmo. 10

— JeffE
fonte

Comentários não são para discussão prolongada; esta conversa foi movida para o bate-papo .

— Gilles

O que aconteceria se alguém provasse que a afirmação "Para todo número inteiro positivo n, a cadeia 0 ^ n aparece na representação decimal de π" é improvável? Ainda diríamos que esse problema é decidível, apesar de nenhum algoritmo correto poder ser construído?

— Outros

@ Outros Sim, gostaríamos.

— jeffe

@JeffE Tudo bem. Uma prova é possível na lógica intuicionista? Ou a lei do meio excluído é necessária aqui?

— Outros

N

$N$

M_{N}

$M_N$

Apenas postando uma pequena elaboração da resposta de JeffE.

Sabemos que existem duas funções / casos que podem calcular a função f (n):

Uma função que sempre retorna true (para todos os n, existe n número de 0s consecutivos)
Uma função que retornará true se n for menor que um número inteiro N, em que N é definido como o comprimento máximo de 0s consecutivos existentes no número irracional fornecido (caso contrário, retorna false).

Uma e apenas uma dessas funções podem estar corretas. Não sabemos qual, mas sabemos com certeza que existe uma resposta. A computabilidade requer que exista uma função que possa determinar a resposta em uma quantidade finita de etapas.

O número de etapas no caso 1 é trivialmente vinculado apenas ao retorno 1.

$N$ $T_N(n)$ $n < N$ $N$ $N$ $T_N(n)$ $n < N$

Embora possa não ser possível escolher entre os dois casos (embora um pareça mais provável que outro), sabemos que exatamente um deles deve estar correto.

Como observação lateral: nossa solução supõe que, embora não possamos determinar qual função provocará um valor correto, a essência da computabilidade não depende da construtibilidade da prova. Existência pura é suficiente.

— JC
fonte

Nem todos os matemáticos aceitam isso - por exemplo, os intuicionistas não.

— Reinierpost

P \lor \neg P

$P\lor\lnot P$

A etapa 5 da tentativa de prova a seguir é injustificada e, de fato, errada - um contra-exemplo pode ser encontrado aqui . (obrigado, Yuval; parecia a parte mais esboçada do esboço). Deixei a resposta aqui, pois acho que o erro é instrutivo.

Primeiro: o par de respostas de JeffE é suficiente; f é computável de qualquer maneira.

$\pi$
$\pi$
$\pi$

$\pi$
$\pi$

— Stephen Voris
fonte

π

$\pi$

π

$\pi$

Ah, os perigos dos saltos indutivos: P Boa captura, obrigado.

— Stephen Voris

Aliás, se a conclusão estiver errada, faz mais sentido excluí-lo ou deixá-lo e reconhecer por edição que está errado?

— Stephen Voris

π

$\pi$

b

$b$

b

$b$

@DavidRicherby Grande problema aberto, você diz? Sim, é bom saber. Eu acho que esse é um erro razoavelmente educacional, como evidência de quão complicado é o problema em que a pergunta do OP se baseia - obviamente eu também poderia estar errado, dado o voto negativo.

— Stephen Voris