Perdido em um concerto "unidirecional"

Você e um amigo se perderam na fila para um concerto, e nenhum deles tem certeza de qual deles está mais à frente. Formalmente, cada um está em alguma coordenada inteira e só pode caminhar em direção a uma coordenada mais alta ou permanecer no local.

Supondo que você e seu amigo estejam seguindo exatamente o mesmo algoritmo (e não, você não pode dizer "if (name ==" R B ") faça algo :)), e a distância inicial entre vocês dois foi (que não é conhecido por você). $x$

Qual é o algoritmo que minimiza a curta distância esperada até você e seu amigo se encontrarem?

Você pode assumir que seu amigo e você estão se movendo na mesma velocidade constante.

Um exemplo de algoritmo simples seria algo como:

No estágio (a partir de ): $n$ $0$

Ande etapas para a direita wp ou aguarde unidades de tempo. $3^n$ $\frac{1}{2}$ $3^n$

Para ver esse algoritmo faz com que os amigos se encontrem com probabilidade 1, considere o que acontece no estágio . Mesmo que o amigo que estava passo à frente sempre andasse e o outro sempre estivesse no lugar, a distância entre os dois seria: $(\log_3 x+1)$ $x$

x + 1 + 3 + 9 + \dots + 3^{\log_{3} x} = 2 x + \frac{x - 1}{2} \leq 3 x

$x+1+3+9+\ldots+3^{\log_3 x}=2x+\frac{x-1}{2}\leq 3x$

Portanto, na , o amigo que escolher andar percorrerá a distância de , portanto, com probabilidade , o amigo que está por trás alcançará e eles se encontrarão. $\log_3 x+1$ $3^{\log_3 x+1}=3x$ $\frac{1}{4}$

Uma otimização simples (para reduzir a distância a pé) seria, em vez de andar etapas, andar etapas, em que é dada por: $3^x$ $c^x$ $c$

2 + \frac{1}{c - 1} = c

$2+\frac{1}{c-1}=c$

Portanto, o ideal para esse algoritmo é $c$ $c=\frac{3+\sqrt 5}{2}\approx 2.618$

Infelizmente, embora esse algoritmo garanta que os amigos encontrarão a probabilidade 1, a distância esperada é infinita, o que é algo que eu gostaria de evitar, se possível.

Existe um algoritmo mais eficiente?

algorithms randomized-algorithms

— RB
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Quando você diz "distância esperada a pé" - você quer dizer, na pior das hipóteses, onde o algoritmo é probabilístico, ou também assume alguma distribuição nas entradas? Além disso - você exige que seu algoritmo esteja sempre correto ou esteja correto wp 1? (ou menos?) - note que o algoritmo que apresentamos aqui pode nunca mais parou (mas wp 0)

— Shaull

Isso é semelhante ao problema de pesquisa linear ( en.wikipedia.org/wiki/Linear_search_problem ).

— Yuval Filmus

@ Shaull - como os dois amigos estão seguindo o mesmo algoritmo, ele deve ser probabilístico ou eles nunca se encontrarão. A expectativa é superior à randomização do algoritmo.

— RB

No seu algoritmo, você quer dizer andar

unidade de tempo para a direita com velocidade constante

? Andar

passos pode não falar 2 ^ n tempo.

2^{n}

$2^n$

C

$C$

2^{n}

$2^n$

— 说奇说 ARCHY SHUō

@ 0a-archy - assumimos que ambos estão se movendo na mesma velocidade (seja 1

para este assunto). A idéia no algoritmo que dei é que você caminha

etapas ou espera um tempo equivalente, para que cada iteração comece ao mesmo tempo para os dois jogadores.

\frac{step}{time unit}

$\frac{\text{step}}{\text{time unit}}$

2^{n}

$2^n$

— RB

Na etapa , desenhe um número aleatório uniformemente entre , e . $k$ $q$ $1$ $2$ $3$

se , ande , espere , ande $q = 1$ $2^{k-1}$ $2^{k+1}$ $2^{k-1}$

se , espere , ande , espere , ande , espere $q = 2$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$ $2^{k}$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$

se , aguarde , caminhe , aguarde $q = 3$ $2^k$ $2^k$ $2^k$

A cada passo , os dois amigos andam passos. Se , eles não se encontrarão durante essa etapa; no entanto, se , eles se encontrarão se e somente se não desenharem o mesmo número. A probabilidade de que isso não acontece apenas em cada etapa. $k$ $2^k$ $k < \log_2(x) + 1$ $k >= \log_2(x) + 1$ $1/3$

Portanto, a distância a pé esperada é (delimitada acima por):

2 (\sum_{k = 0 0}^{⌈ {registro}_{2} (x) ⌉} 2^{k} + 3^{⌈ {registro}_{2} (x) ⌉} \sum_{k = ⌈ {registro}_{2} (x) ⌉ + 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{k})

$2\left(\sum_{k=0}^{\lceil\log_2(x)\rceil}2^k+3^{\lceil\log_2(x)\rceil}\sum_{k=\lceil\log_2(x)\rceil+1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^k\right)$

Qual é finito e igual, se minha matemática de guardanapo é confiável, para . $2^{\lceil\log_2(x)\rceil+3}-2 \le 16x$

$d$ $\forall D>0, \mathrm{P}(d>D) > 0$ $\sum_{D=0}^{\infty}\mathrm{P}(d=D)\cdot D = \mathbb{E}[d]$ $d$ é uma propriedade muito mais forte e acho que não é possível encontrar uma solução que a satisfaça.

— David Durrleman
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