O que sabemos sobre NP ∩ co-NP e sua relação com o NPI?

Um AT apareceu hoje para perguntar algumas coisas sobre NP e co-NP. Também chegamos a um ponto em que fiquei perplexo: como é o diagrama de Venn de P, NPI, NP e co-NP assumindo P ≠ NP (o outro caso é chato)?

Parece haver quatro opções básicas.

1. NP ∩ co-NP = P

   Em particular, co-NPI ∩ NPI = ∅

2. NP ∩ co-NP = P ∪ NPI

   Em particular, co-NPI = NPI?

3. NP ∩ co-NP ⊃ P ∪ NPI ∪ co-NPI

   Uma pergunta de acompanhamento nesse caso é como o NPC e o co-NPC estão relacionados; existe uma sobreposição?

4. Outra coisa, ou seja, alguns problemas do NPI estão em co-NP e outros não.

Sabemos o que é certo ou pelo menos o que não pode ser verdade?

As entradas do zoológico de complexidade para NPI e NP ∩ co-NP não inspiram muita esperança de que algo seja conhecido, mas eu não sou realmente fluente o suficiente na teoria da complexidade para compreender todas as outras classes (e seu impacto nessa questão) flutuando por lá .

O fato de P ≠ NP não excluir a possibilidade de NP = co-NP, nesse caso NP ∩ co-NP = NP. Então, para aprofundar a discussão, vamos assumir que NP ≠ co-NP. Nesse caso, o Corolário 9 em Schöning, uma abordagem uniforme para obter conjuntos diagonais em classes de complexidade, mostra que existe alguma linguagem no NP - co-NP, que é intermediário no NP. Portanto, o NPI contém estritamente (NP ∩ co-NP) - P (observe que todos os idiomas em NP ∩ co-NP estão em P ∪ NPI). Esta é sua opção (4).

Em resumo, assumindo P ≠ NP e NP ≠ co-NP, obtemos o seguinte:

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