Que partes da álgebra linear são usadas na ciência da computação?

Eu tenho lido a Álgebra Linear e seus Aplicativos para ajudar a entender o material da ciência da computação (principalmente aprendizado de máquina), mas estou preocupado que muitas informações não sejam úteis para o CS. Por exemplo, saber como resolver com eficiência sistemas de equações lineares não parece muito útil, a menos que você esteja tentando programar um novo solucionador de equações. Além disso, o livro falou muito sobre extensão, dependência linear e independência, quando uma matriz tem um inverso e as relações entre eles, mas não consigo pensar em nenhuma aplicação disso no CS. Então, quais partes da álgebra linear são usadas no CS?

As partes que você mencionou são conceitos básicos de álgebra linear. Você não pode entender os conceitos mais avançados (por exemplo, autovalores e autovetores) antes de entender primeiro os conceitos básicos. Não há atalhos em matemática. Sem uma compreensão intuitiva dos conceitos de extensão e independência linear, você não chegará muito longe na álgebra linear.

Alguns algoritmos funcionam apenas com matrizes de classificação completa - Você sabe o que isso significa? Você sabe o que pode fazer com que uma matriz não seja uma classificação completa? Como lidar com isso? Você não terá idéia se não souber o que é independência linear.

O algoritmo de eliminação gaussiano usado para resolver equações lineares pode ser numericamente instável se implementado incorretamente, e isso é algo com que você pode se preocupar em alguns casos. Sem entender o algoritmo, você não saberá de onde vem o problema e se há algo que possa ser feito - não no nível dos algoritmos para resolver equações lineares, mas no nível de encontrar as equações lineares corretas para resolver.

Em resumo, não seja preguiçoso e acredite que essas coisas são úteis.

Álgebra linear às vezes é extremamente útil e poderosa em algoritmos de gráficos. Com o teorema da árvore matricial, é possível contar com eficiência o número de árvores de abrangência que um gráfico possui (é necessário entender os autovalores). Uma aplicação mais desafiadora, onde você precisa de uma compreensão ainda mais firme da álgebra linear é o algoritmo FKT para calcular o número de combinações perfeitas em um gráfico planar em tempo polinomial.

Existem muitos exemplos mais interessantes de usos da álgebra linear na teoria dos grafos algébricos e na teoria dos grafos espectrais . Os algoritmos que surgem não são apenas para contar problemas como os dois exemplos que eu dei. Por exemplo, você também pode verificar a conectividade ou calcular o diâmetro de um gráfico .

Um dos usos mais conhecidos da álgebra linear está no algoritmo Pagerank do Google :

Os valores PageRank são as entradas do autovetor esquerdo dominante da matriz de adjacência modificada.

Quase tudo o que envolve computação gráfica, animação, visão computacional, processamento de imagens, computação científica ou simulação de fenômenos físicos envolverá o uso extensivo de vetores e matrizes (álgebra linear), desde coisas simples como representar transformações e orientações espaciais até algoritmos muito complexos. Essas coisas costumavam ser o domínio da supercomputação, mas agora esses mesmos campos são o núcleo de todos os aplicativos mais legais em seu desktop, telefones e em qualquer outro lugar, de videogames a fotografia computacional e carros autônomos. Álgebra linear está em toda parte.

Existem muitos algoritmos e técnicas baseados em álgebra matricial por aí. E isso é ótimo. A análise de componentes principais é um exemplo de uma álgebra linear aplicada bastante útil. O mesmo pode ser dito sobre a análise de Fourier, que também tem raízes na ortogonalidade e nos produtos internos. Portanto, existem aplicativos diretos.

MAS , ainda mais importante, ter uma aula de álgebra linear é valioso porque ensina você a pensar de uma certa maneira. A maioria das boas aulas de álgebra linear enfatiza generalização, lógica e provas. Algo é verdade em geral, ou apenas alguns casos comuns específicos? Como você pode ter certeza? Ser capaz de pensar em como provar suas suposições é bom porque ajuda a evitar suposições ruins e a escrever códigos que não se generalizam da maneira que você supõe. Também ajuda a pensar em como generalizar coisas que, de outra forma, podem ser difíceis de generalizar, e que permitem resolver problemas maiores.

Em resumo, é bom ter em mente que a álgebra linear é boa porque é o levantamento de peso para a parte do cérebro que é útil na ciência da computação.

Resolver um sistema de equações lineares (que pode ser feito com o método de eliminação gaussiano), programação linear (que pode ser resolvida com o método simplex), mínimos quadrados e detecção compactada (consulte o artigo da Wikipedia) são problemas práticos que surgem em muitos Áreas de aplicação. A álgebra linear ajuda no desenvolvimento de algoritmos corretos e eficientes para esses problemas.

Veja o texto [Cormen, Leiserson, Rivest e Stein, "Introdução aos Algoritmos, Terceira Edição"], em que o Capítulo 28 trata de operações matriciais e o Capítulo 29 trata de programação linear.