Por que os problemas NP-completos são tão diferentes em termos de aproximação?

Gostaria de começar a pergunta dizendo que sou programador e não tenho muita experiência em teoria da complexidade.

Uma coisa que eu notei é que, embora muitos problemas sejam NP-completos, quando estendidos a problemas de otimização, alguns são muito mais difíceis de aproximar do que outros.

Um bom exemplo é o TSP. Embora todos os tipos de TSP sejam NP-completos, os problemas de otimização correspondentes ficam cada vez mais fáceis de serem aproximados com sucessivas simplificações. O caso geral é completo com NPO, o caso métrico é completo com APX e o caso euclidiano realmente possui um PTAS.

Isso parece contra-intuitivo para mim, e estou me perguntando se existe uma razão para isso.

Uma razão pela qual vemos complexidades de aproximação diferentes para problemas de NP-completo é que as condições necessárias para NP-completo constituem uma medida granular muito grossa da complexidade de um problema. Você pode estar familiarizado com a definição básica de um problema sendo NP-complete:$\Pi$

1. $\Pi$ está em NP e
2. Para todos os outros problemas no NP, podemos transformar uma instância de em uma instância de em tempo polinomial, de modo que seja uma instância sim de se e somente se for uma instância sim de .$\Xi$$x$$\Xi$$y$$\Pi$$y$$\Pi$$x$$\Xi$

Considere a condição 2: tudo o que é necessário é que possamos pegar e transformá-lo em algum que preserva a resposta sim / não "de bit único". Não há condições sobre, por exemplo, o tamanho relativo das testemunhas para sim ou não (ou seja, o tamanho da solução no contexto de otimização). Portanto, a única medida usada é o tamanho total da entrada, que apenas fornece uma condição muito fraca para o tamanho da solução. Portanto, é bastante "fácil" transformar um em um .$x$$y$$\Xi$$\Pi$

Podemos ver a diferença em vários problemas NP-completos, observando a complexidade de alguns algoritmos simples. -Coloring tem uma força bruta (onde é o tamanho da entrada). Para -Dominating Set, uma abordagem de força bruta assume . Estes são, em essência, os melhores algoritmos exatos que temos. -Vertex Cover, no entanto, possui um algoritmo simples (escolha uma aresta, ramo no qual o nó de extremidade incluir, marque todas as áreas cobertas, continue até você não ter arestas desmarcadas ou pressionar seu orçamento de$k$$O(k^{n})$$n$$k$$O(n^{k})$$k$$O(2^{k}n^{c})$$k$e bactrack). Sob reduções de um-tempo em tempo polinomial (reduções de Karp, ou seja, o que estamos fazendo na condição 2 acima), esses problemas são equivalentes.

Quando começamos a abordar a complexidade com ferramentas ainda um pouco mais delicadas (complexidade de aproximação, complexidade parametrizada, outras que não consigo pensar), as reduções que usamos se tornam mais estritas, ou melhor, mais sensíveis à estrutura da solução, e as diferenças começam a aparecer; -Vertex Cover (como Yuval mencionou) tem uma aproximação 2 simples (mas não possui um FPTAS, a menos que algumas classes de complexidade colapsem ), -Dominating Set possui um algoritmo de aproximação (mas não -proximação para alguns ), e aproximação realmente não faz sentido para a versão direta do -Coloring.$k$$k$$(1+\log n)$$(c\log n)$$c>0$$k$

Uma maneira de considerar a diferença entre versão de decisão e versão de otimização é considerar diferentes versões de otimização da mesma versão de decisão. Tomemos, por exemplo, o problema MAX-CLIQUE, que é muito difícil de aproximar em termos do parâmetro usual - o tamanho da clique. Se alterarmos o parâmetro de otimização para o logaritmo do tamanho do clique, obteremos um problema com o algoritmo de aproximação . Se alterarmos o parâmetro de otimização para , onde é o tamanho do clique, então podemos obter um algoritmo de aproximação .1 / 2 + k / n K O ( 1 $O(\log n)$$1/2 + k/n$$k$$O(1)$

Esses exemplos não são completamente inventados. Os problemas de MAX-INDEPENDENT-SET (equivalente a MAX-CLIQUE) e MIN-VERTEX-COVER estão intimamente relacionados - o complemento de um conjunto independente é uma cobertura de vértice. Mas enquanto o primeiro é difícil de aproximar, o segundo tem uma simples aproximação 2.

Às vezes, reduções que mostram a dureza NP de um determinado problema também podem mostrar dureza de aproximação, mas esse nem sempre é o caso - depende da redução. Por exemplo, a redução de MAX-INDEPENDENT-SET para MIN-VERTEX-COVER não implica dureza na aproximação do último problema, que é muito mais fácil de aproximar do que o anterior.

Resumindo, a dureza NP é apenas um aspecto de um problema. A dureza da aproximação é um aspecto diferente e depende fortemente da noção de aproximação.

Como uma abordagem intuitiva, considere que as instanciações de problemas de NP completos nem sempre são tão difíceis quanto no caso geral. A satisfação binária (SAT) é NP-completa, mas é trivial encontrar a solução para A v B v C v D v ... Os algoritmos de complexidade apenas ligam o pior caso, não o caso médio, ou mesmo o caso de 90% .

A maneira mais fácil de reduzir um problema de NP completo para algo mais simples é simplesmente excluir as partes duras. Está trapaceando, sim. Mas muitas vezes as partes restantes ainda são úteis para resolver problemas do mundo real. Em alguns casos, é fácil traçar a linha entre "fácil" e "difícil". Como você apontou para o TSP, há uma forte redução de dificuldade à medida que você restringe o problema às direções "normais" em que se pode pensar. , é mais difícil encontrar maneiras úteis da vida real de segregar as partes fáceis e difíceis.

Para deixar totalmente o domínio do CS e da matemática, considere um carro velho. Seu amigo quer dirigir. Se você tiver que dizer a ele: "ei, o carro funciona perfeitamente. Só não suba a mais de 100 km / h. Há uma oscilação desagradável que o derrubará da estrada", provavelmente não é grande coisa. Seu amigo provavelmente só queria passear pela cidade de qualquer maneira. No entanto, se você precisar dizer a ele, "você precisa apertar a embreagem para passar do 1º ao 2º, ou o motor irá parar", pode ser mais difícil para seu amigo usar o carro pela cidade sem um treinamento menor.

Da mesma forma, se um problema de NP completo ficar difícil apenas em casos exóticos, ele reduzirá a complexidade rapidamente quando você olha para subdomínios. No entanto, se ficar difícil em casos comuns, não existem muitos subdomínios úteis que evitam a parte difícil.