Existe alguma relação concreta entre o teorema da incompletude de Gödel, o problema da parada e as máquinas de Turing universais?

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Sempre pensei vagamente que a resposta à pergunta acima era afirmativa nas seguintes linhas. O teorema da incompletude de Gödel e a indecidibilidade do problema de parada são resultados negativos sobre a decidibilidade e estabelecidos por argumentos diagonais (e na década de 1930); portanto, eles devem, de alguma forma, ser duas maneiras de ver os mesmos assuntos. E eu pensei que Turing usava uma máquina universal de Turing para mostrar que o problema da parada é insolúvel. (Veja também esta pergunta math.SE. )

Mas agora que (ministrando um curso de computabilidade), analiso mais de perto essas questões, fico bastante confuso com o que encontro. Então, eu gostaria de alguma ajuda para esclarecer meus pensamentos. Percebo que, por um lado, o argumento diagonal de Gödel é muito sutil: é preciso muito trabalho para construir uma declaração aritmética que possa ser interpretada como dizendo algo sobre sua própria derivabilidade. Por outro lado, a prova da indecidibilidade do problema de parada que encontrei aqui é extremamente simples e nem sequer menciona explicitamente as máquinas de Turing, muito menos a existência de máquinas de Turing universais.

Uma questão prática sobre as máquinas de Turing universais é se é de alguma importância que o alfabeto de uma máquina de Turing universal seja o mesmo que o das máquinas de Turing que ele simula. Eu pensei que seria necessário para inventar um argumento diagonal adequado (fazer a máquina simular a si mesmo), mas não encontrei nenhuma atenção a essa questão na desconcertante coleção de descrições de máquinas universais que encontrei na rede. Se não for pelo problema da parada, as máquinas universais de Turing são úteis em qualquer argumento diagonal?

Finalmente, estou confuso com esta seção adicionaldo mesmo artigo do WP, que diz que uma forma mais fraca da incompletude de Gödel decorre do problema de parada: "uma axiomatização completa, consistente e sólida de todas as afirmações sobre números naturais é inatingível" onde "som" deve ser o enfraquecimento. Sei que uma teoria é consistente se não se pode derivar uma contradição, e uma teoria completa sobre números naturais parece significar que todas as afirmações verdadeiras sobre números naturais podem ser derivadas nela; Eu sei que Gödel diz que essa teoria não existe, mas não vejo como uma fera hipotética poderia falhar em ser sólida, ou seja, também derivar afirmações falsas para os números naturais: a negação de tal afirmação seria verdadeira e, portanto, por completude também derivável, o que contradiz a consistência.

Gostaria de receber qualquer esclarecimento sobre um desses pontos.

— Marc van Leeuwen
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Você tem um problema conceitual: decidibilidade algorítmica (problema de parada) e derivabilidade resp. provabilidade (lógica) são dois conceitos muito diferentes; você parece usar "decidibilidade" para ambos.

— Raphael

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@ Rafael: Estou muito ciente de que há uma grande diferença conceitual entre as afirmações do teorema da incompletude e a indecidibilidade do problema da parada. Entretanto, a forma negativa de incompletude: um sistema formal suficientemente poderoso não pode ser consistente e completo, traduz-se em uma declaração de indecidibilidade: uma vez que o conjunto de teoremas dedutíveis em um sistema formal é semi-decidível por construção, a completude tornaria o conjunto de - teoremas semi-decidíveis também (como negações de teoremas, assumindo consistência ou então como o conjunto vazio), portanto, decidíveis.

— Marc van Leeuwen

sim, de fato, as duas provas são conceitualmente extremamente semelhantes e, de fato, uma maneira de ver é que Godel construiu uma espécie de lógica completa na aritmética. existem muitos livros que apontam essa equivalência conceitual. por exemplo, Godel Escher Bach por Hofstadter ou Emperors New Mind por Penrose ....

— vzn

Um pouco relacionado ... sempre me lembro da etiqueta de Hofstadter, onde a Tartaruga continua quebrando o toca-discos de Aquiles, como se aplicando ao problema da parada. Na verdade, eu encontrei esse tópico (re) pesquisando minha confusão. Ainda sinto que o parabel se traduz de maneira mais natural e direta no problema da parada, mas isso não tem nenhum entendimento profundo de nenhum dos teoremas.

— micans

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Eu recomendo que você verifique a postagem no blog de Scott Aaronson em uma prova do Teorema da Incompletude via máquinas de Turing e do Teorema de Rosser. Sua prova do teorema da incompletude é extremamente simples e fácil de seguir.

— Marcos Villagra
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Obrigado por este link, aceitarei por enquanto, pois isso se aproxima mais das minhas preocupações. No começo, fiquei bastante perturbado: entendi errado "completo" para significar "toda verdade é derivável" (uma conversa com o som) e não "se não é derivável, então é" (uma inversa para consistente). Scott Aaronson parece acreditar que o significado de "completo" é evidente para o público, embora ele não pareça assumir um público lógico (o que eu certamente não sou); com o meu mal-entendido, o que ele escreve não faz sentido. Tendo encontrado meu erro, acho o post bastante interessante.

P

$P$

\neg P

$\lnot P$

— Marc van Leeuwen

1

Há outra prova em uma linha semelhante no livro The Nature of Computation ( amazon.com/gp/cdp/member-reviews/A2DGFHJVZ92HVI/… ) no capítulo sobre computabilidade. Lá, os autores evitam o uso do teorema de Rosser e assumem apenas a existência de máquinas universais (isto é, tese de Church-Turing). A referência exata é a seção 7.2.5 página 238.

— Marcos Villagra

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Resposta de Neel Krishnaswami ao problema de Halting, conjuntos incontestáveis: prova matemática comum? em CSTheory aponta para referências que conectam os resultados acima sob a égide da teoria das categorias.

— Suresh
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1

este artigo não é mencionado na resposta da história (mas está nos comentários da postagem do blog de Andrej Bauer da resposta), mas é provavelmente uma boa visão geral também.

— Artem Kaznatcheev 15/03/12

Esta é uma conexão baseada na semelhança de provas, em vez de implicações entre os resultados, não é?

— Raphael

1

Bem, a visão no artigo a que Artem se vincula é que essas são todas manifestações de um único fato teórico de categoria.

— Suresh

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(Supõe-se que seja um comentário à resposta de Suresh, mas é simplesmente muito longo para caber lá. Portanto, peço desculpas antecipadamente por realmente não responder à pergunta de Marc.)

Acho a resposta de Neel Problema de parada, conjuntos incontestáveis: prova matemática comum? no CSTheory e no blog de Andrej Bauer não são satisfatórios por dois motivos.

Primeiro, geralmente não precisamos de todo o jargão teórico da categoria para explicar a conexão. A existência de uma linguagem indecidível está implícita no Teorema de Cantor , que possui uma prova diagonal muito elementar. A razão é que o conjunto de programas é equivalente a . Por outro lado, uma vez que cada idioma pode ser visto como um subconjunto de e, portanto, o conjunto de todos os idiomas é equivalente a . Pelo Teorema de Cantor, não há exceção de para e, portanto, sabemos que deve existir uma linguagem indecidível. $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$

Segundo, a prova acima é insatisfatória, pois também queremos "ver" o exemplo de uma linguagem indecidível razoável. A prova acima pode ser vista como um argumento de contagem e, portanto, não é realmente "construtiva" nesse sentido. Turing descobriu o problema da parada como um exemplo.

— Dai
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+1 Essa é uma abordagem mais simples, mas ainda duvido disso: "e, portanto, sabemos que deve existir uma linguagem indecidível". Você poderia especificar a diferença entre linguagem indecidível e problema indecidível?

— 21912 Hernan_eche

1

@ Hernan_e Não há "diferença" realmente. Um problema de decisão na teoria da computação pode ser definido como qualquer pergunta sim ou não no conjunto de entradas . Assim, podemos atribuir cada problema de decisão ao conjunto de entradas para as quais a resposta é sim. O conjunto de é o idioma definido pelo problema .

x \in Σ^{*}

$x\in \Sigma^*$

P

$P$

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

L

$L$

P

$P$

— Dai

Entendido, você é muito claro, concordo que o argumento da contagem não é totalmente satisfatório, mas mesmo sem o exemplo, acho que talvez a pior parte seja que seja infinito, então não há grande surpresa em dizer que são linguagens indecidíveis, seria ótimo estender (é melhor limitar ) o raciocínio de um caso finito (não estou pedindo um exemplo de um problema indecidível), mas uma prova (ou reprovação) semelhante sendo válida para um conjunto finito de entrada admitida em vez de

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

N

$\mathbb{N}$

— Hernan_eche

Mas o argumento diagonal é de fato uma prova construtiva. Ao longo da sua redução ao Teorema de Cantor, o idioma indecidível é o conjunto de todas as máquinas cuja codificação não está no idioma aceito.

— Willard Zhan

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Máquinas universais de Turing são úteis para alguns argumentos diagonais, por exemplo, na separação de algumas classes nas hierarquias da complexidade do tempo ou do espaço : a máquina universal é usada para provar que há um problema de decisão em mas não na . (Limites melhores podem ser encontrados no artigo WP) $\mbox{DTIME}(f(n)^3)$ $\mbox{DTIME}(f(n/2))$

No entanto, para ser perfeitamente honesto, se você olhar atentamente, a máquina universal não é usada na parte `negativa ': a prova supõe que existe uma máquina que resolveria uma versão limitada do tempo do problema de parada e, em seguida, continuaria construindo . (Nenhuma máquina universal aqui) A máquina universal é usada para resolver a versão com tempo limitado do problema de parada em um período maior de tempo. $K$ $¬KK$

— jmad
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Para f (n) suficientemente não constante.

— Yonatan N

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"Se não fosse pelo problema da parada, as máquinas universais de Turing são úteis em qualquer argumento diagonal?"

O teorema de Rice é essencialmente a generalização da diagonalização contra as máquinas de Turing. Isso mostra que não há absolutamente nenhuma propriedade sobre as máquinas de Turing que você pode decidir para todas as máquinas de Turing com um único algoritmo, a menos que essa propriedade seja válida para todas as máquinas de Turing ou nenhuma máquina de Turing. Observe o fato de que a propriedade de propriedade para todas as máquinas de Turing ou nenhuma máquina de Turing impede que o objeto de diagonalização seja uma máquina de Turing; portanto, não pode estar na lista em primeiro lugar para contradizer a decisão sobre a propriedade. Na verdade, este é o únicoO que impede que o objeto de diagonalização esteja na lista e contradiga a decisão sobre a propriedade, ou seja, todas as propriedades das máquinas de Turing são indecidíveis. Esse padrão do objeto de diagonalização que precisa ser um membro da lista de itens sobre os quais você está tentando tomar uma decisão e, no entanto, nega a decisão, é a abstração crítica que o teorema de Lawvere (referenciado no link na resposta de Suresh) captura a fim de generalizar completamente a noção de diagonalização. Agora, como sabemos por experiência própria que quase toda diagonalização parece ter a propriedade comum de levar a algum resultado extremamente importante na lógica matemática, isso faz do teorema de Lawvere uma ferramenta bastante interessante.

— stoopkid
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