Por que os Teoremas de Shaefer e Mahaney não implicam P = NP?

Tenho certeza de que alguém já pensou nisso antes ou imediatamente o descartou, mas por que a teoria da dicotomia de Schaefer, juntamente com o teorema de Mahaney sobre conjuntos esparsos, não implica P = NP?

Aqui está o meu raciocínio: Crie um idioma que seja igual a SAT cruzado por um conjunto esparso infinito e decidível. Então também deve ser escasso. Como não é trivial, afim, 2-sat ou Horn-sat, pelo teorema de Shaefer, ele deve ser NP-completo. Mas então temos um conjunto NP completo esparso, de acordo com o teorema de Mahaney, P = NP.$L$$L$$L$

Onde estou errado aqui? Suspeito que estou entendendo mal ou aplicando mal o teorema de Shaefer, mas não vejo o porquê.

$\mathrm{SAT}(S)$$\mathrm{CSP}(\Gamma)$$L$