Está determinando se existe um primo em um intervalo conhecido como P ou NP-complete?

Vi neste post no stackoverflow que existem alguns algoritmos relativamente rápidos para peneirar um intervalo de números para ver se há um primo nesse intervalo. No entanto, isso significa que o problema geral de decisão de: (existe um primo em um intervalo?) Está em P. (Havia muitas respostas para esse post que eu não li, então peço desculpas se esta pergunta é uma duplicado ou desnecessário).

Por um lado, se o intervalo for grande o suficiente (por exemplo ), algo como o Postulado de Bertrand se aplica e, definitivamente, há um primo nesse intervalo. No entanto, também sei que há arbitrariamente grandes lacunas entre dois primos (por exemplo [ N ! , N ! + N ] . $[N,2N]$$[N!,N!+ N]$

Mesmo que o problema de decisão esteja no PI, não vemos como o problema de pesquisa correspondente também é tratável porque, talvez não consigamos usar as mesmas propriedades em relação à distribuição conhecida de números primos ao executar a pesquisa binária.

Portanto, seu problema é o seguinte:

Entrada: números inteiros Pergunta: existe um primo em [ ℓ , u ] ?$\ell,u$
$[\ell,u]$

Até onde eu sei, não se sabe se esse problema está em P ou não.

Aqui está o que eu sei:

• O teste de primazia (dado um único número, teste se é primo) está em P; portanto, se o intervalo é pequeno o suficiente, você pode testar exaustivamente cada número no intervalo para ver se é primo - mas isso não leva a uma algoritmo geral.

• Se a conjectura de Cramer é verdadeira, o problema está em P. A conjectura de Cramer diz que o intervalo entre primos consecutivos próximos a é O ( ( log n ) 2 ) , portanto o algoritmo a seguir estará em P: iterar pelos números ℓ , ℓ + 1 , ℓ + 2 , ℓ + 3 , … , testando cada um se é primo; se você encontrar um que seja primo, pare imediatamente com uma resposta sim; se você acertar você , pare sem responder. A conjectura de Cramer nos diz que você vai parar depois da maioria dos $n$$O((\log n)^2)$$\ell,\ell+1,\ell+2,\ell+3,\dots$$u$ testes de primalidade, para que o algoritmo seja executado em tempo polinomial.$O((\log \ell)^2)$

  Infelizmente, os resultados conhecidos sobre lacunas privilegiadas não parecem fortes o suficiente para provar incondicionalmente que o problema está em P.

• $r$$[\ell,u]$$[\ell,u]$$u$$1/\log n$$O(\log u)$$[\ell,u]$$O((u-l) \log(u-l))$

• Provavelmente, pode-se aplicar métodos de peneiração para melhorar o tempo de execução na prática (por exemplo, para evitar qualquer teste de primalidade em números divisíveis por um pequeno primo). Não sei se isso pode levar a qualquer melhoria assintótica.

• Devido a essas técnicas, o problema provavelmente é fácil na prática.

• Devido às observações acima, duvido pessoalmente que o problema seja NP-completo.