Por que existe a condição de regularidade no teorema mestre?

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Eu tenho lido Introdução aos algoritmos por Cormen et al. e eu estou lendo a declaração do teorema do mestre começando na página 73 . No caso 3, há também uma condição de regularidade que precisa ser satisfeita para usar o teorema:

... 3. Se

$\qquad \displaystyle f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \varepsilon})$

para alguma constante $\varepsilon > 0$ e se

$\qquad \displaystyle af(n/b) \leq cf(n)$ [esta é a condição de regularidade]

para alguma constante e para todas suficientemente grandes , então .. $c < 1$ $n$

Alguém pode me dizer por que a condição de regularidade é necessária? Como o teorema falha se a condição não é satisfeita?

— Rafael
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você pode escrever qual é o caso e qual é a condição regulatória?

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Não tenho uma resposta definitiva para você, mas parece que, se a condição de regularidade não se mantiver, os subproblemas demoram mais e mais tempo quanto menores, para que você obtenha complexidade infinita.

Não tenho certeza de que a condição de regularidade seja necessária para a conclusão do teorema, mas acho que é necessária para a prova usada. Com a condição de regularidade, você tem uma prova bastante direta, sem, pelo menos, seria cabeluda.

cópia em Ciência da computação teórica

— Kaveh

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Não é uma prova rigorosa, mas uma explicação "do alto da minha cabeça".

Imagine a recorrência como uma árvore. O terceiro caso cobre o cenário em que o nó raiz domina o tempo de execução assintoticamente, ou seja, a maior parte do trabalho está sendo realizada no nó mísero, na parte superior da árvore de recorrência. Então o tempo de execução é . $aT(n/b)+f(n)$ $\Theta(f(n))$

Para garantir que a raiz realmente funcione mais, você precisa do

. $a f(n/b) \leq cf(n)$

Isso diz que (a quantidade de trabalho realizado na raiz) precisa ser pelo menos tão grande quanto a soma do trabalho realizado nos níveis mais baixos. (A recorrência é chamado vezes em da entrada). $f(n)$ $a$ $n/b$

Por exemplo, para a recorrência o trabalho no nível abaixo da raiz é um quarto do tamanho e é feito apenas duas vezes versus modo que a raiz domina . $T(n)=2T(n/4)+n$ $(n/4+n/4)$ $n$

Mas e se a função não atender à condição de regularidade? Por exemplo, vez de ? Então, o trabalho realizado nos níveis inferiores pode ser maior que o trabalho realizado na raiz, para que você não tenha certeza de que a raiz domina. $\cos(n)$ $n$

— The Unfun Cat
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Usei uma formatação melhor para o seu texto de matemática. Você pode clicar no link "editado" e ver o que eu fiz.

— 213 Juho

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Deixe e , de modo que Para aplicar o caso 3, precisamos de (para alguns ) e a condição de regularidade, $a = 1$ $b = 2$

T (2^{n}) = \sum_{k = 0}^{n} f (2^{k}) .

$T(2^n) = \sum_{k=0}^n f(2^k).$

f (n) = Ω (n^{ϵ})

$f(n) = \Omega(n^\epsilon)$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

(para alguns

f (n / 2) \leq (1 - δ) f (n)

$f(n/2) \leq (1-\delta) f(n)$

δ > 0

$\delta > 0$

f (n) = n (2 - \cos n)

$f(n) = n(2-\cos n)$

f (2^{n}) = 2^{2^{⌊ \log_{2} n ⌋}} > 2^{2^{\log_{2} n - 1}} = 2^{n / 2} .

$f(2^n) = 2^{2^{\lfloor \log_2 n \rfloor}} > 2^{2^{\log_2n-1}} = 2^{n/2}.$

n = 2^{m + 1} - 1

$n = 2^{m+1}-1$

T (2^{n}) = \sum_{k = 0}^{m} \sum_{t = 2^{k}}^{2^{k + 1} - 1} 2^{2^{k}} = \sum_{k = 0}^{m} 2^{2^{k} + k} = Θ (2^{2^{m} + m}), f (2^{n}) = 2^{2^{m}} .

$T(2^n) = \sum_{k=0}^m \sum_{t=2^k}^{2^{k+1}-1} 2^{2^k} = \sum_{k=0}^m 2^{2^k+k} = \Theta(2^{2^m+m}), \quad f(2^n) = 2^{2^m}.$ So it's not true that

T (2^{n}) = Θ (f (2^{n}))

$T(2^n) = \Theta(f(2^n))$ .

There is a more general theorem, Akra-Bazzi, in which the regularity condition is replaced by an explicit quantity that comes into the result.

— Yuval Filmus
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Sorry for resuming this old answer. Could you clarify why your function f violates the regularity condition?

— Maiaux

Sometimes

f (n / 2) = f (n)

$f(n/2) = f(n)$ .

— Yuval Filmus