Como escrevo uma prova usando indução no comprimento da string de entrada?

No meu curso de teoria da computação, muitos dos nossos problemas envolvem o uso de indução no comprimento da string de entrada para provar declarações sobre autômatos finitos. Eu entendo a indução matemática, no entanto, quando as cordas entram em jogo, eu fico tropeçando de verdade. Eu realmente apreciaria se alguém passasse pelo processo de fazer essa prova passo a passo.

Aqui está um exemplo de problema (Exercício 2.2.10 de Hopcroft e Ullman 3rd Edition):

Considere o DFA com a seguinte tabela de transição:
        0 1
       ________
-> A | AB
  * B BA
Descreva informalmente o idioma aceito por este DFA e prove por indução no comprimento de uma sequência de entrada que sua descrição está correta.

Este é um problema respondido no livro, por isso não estou procurando alguém para fazer minha lição de casa. Eu só preciso de alguém para me explicar direito.

Resposta do livro: (tirada daqui )

O autômato informa se o número de 1s visto é par (estado A) ou ímpar (estado B), aceitando no último caso. É uma indução fácil em | w | para mostrar que dh (A, w) = A se e somente se w tiver um número par de 1's. Base: | w | = 0. Então w, a cadeia vazia certamente possui um número par de 1's, ou seja, zero 1's e δ-hat (A, w) = A.

Indução: Assuma a instrução para cadeias menores que w. Então w = za, onde a é 0 ou 1.

Caso 1: a = 0. Se w tiver um número par de 1's, o mesmo acontece com z. Pela hipótese indutiva, δ-hat (A, z) = A. As transições do DFA nos dizem δ-hat (A, w) = A. Se w tem um número ímpar de 1, então z também. Pela hipótese indutiva, δ-hat (A, z) = B, e as transições do DFA nos dizem δ-hat (A, w) = B. Assim, neste caso, δ-hat (A, w) = A se e somente se w tiver um número par de 1's.

Caso 2: a = 1. Se w tiver um número par de 1, então z terá um número ímpar de 1. Pela hipótese indutiva, δ-hat (A, z) = B. As transições do DFA nos dizem δ-hat (A, w) = A. Se w tem um número ímpar de 1, então z tem um número par de 1's. Pela hipótese indutiva, δ-hat (A, z) = A, e as transições do DFA nos dizem δ-hat (A, w) = B. Assim, também neste caso, δ-hat (A, w ) = A se e somente se w tiver um número par de 1s.

Eu entendo como provar coisas como usando indução. Estou confuso com a forma como isso funciona com a construção de strings. Estou confuso com as partes em negrito. Não entendo como eles são apresentados / como isso realmente prova o que é aceito / como é indutivo. $\sum_{i=0}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2}$

δ-hat é a função de transição estendida, a propósito.

— tcdowney
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^{Como não está claro onde está o seu problema, começarei do começo.}

A indução matemática funciona como o jogo dos sussurros chineses (no caso ideal, ou seja, toda a comunicação é sem perdas) ou (perfeitamente configurada) dominó : você começa em algum lugar e mostra que todos os seus próximos passos não quebram nada, assumindo que nada foi quebrado até então.

Mais formalmente, toda prova de indução consiste em três elementos básicos:

Âncora de indução , também caso base : você mostra para casos pequenos¹ que a reivindicação é válida.
Hipótese de indução : você assume que a reivindicação vale para um determinado subconjunto do conjunto sobre o qual você deseja provar algo.
Etapa indutiva : usando a hipótese, você mostra que a reivindicação vale para mais elementos.

Obviamente, o passo deve ser ajustado de forma a cobrir todo o conjunto de bases (no limite).

Nota importante: as pessoas que confiam em suas habilidades de indução geralmente encobrem a âncora e deixam a hipótese implícita. Embora isso seja bom ao apresentar seu trabalho a um público especializado (por exemplo, um artigo), isso não é recomendado ao se fazer provas, especialmente como iniciante. Anote tudo.

Considere um exemplo simples over ; queremos mostrar que é válido para todos os . $(\mathbb{N},\leq)$ $\sum_{i=0}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ $n \in \mathbb{N}$

Âncora : Para , se mantém claramente. $n=0$ $\sum_{i=0}^{n} i = 0 = \frac{n(n+1)}{2}$
Hipótese : Suponha que válido para um arbitrário, mas fixo² . $\sum_{i=0}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}$ $n \in \mathbb{N}$
Etapa : para , calcule a soma: $n+1$

$\qquad \displaystyle \sum_{i=0}^{n+1} i = (n+1) + \sum_{i=0}^{n} i \overset{\text{IH}}{=} n+1 + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{(n+2)(n+1)}{2}$

Portanto, a identidade vale para . (Observamos que precisávamos apenas de uma pequena parte da hipótese, ou seja, para . Isso geralmente acontece.) $n+1$ $k=n$

O princípio indutivo agora nos assegura que a afirmação é verdadeira: nós a mostramos diretamente para . A etapa diz que, se ela vale para , também vale para ; se vale para , também vale para ; e assim por diante. $0$ $0$ $1$ $1$ $2$

Vamos dar uma olhada em outro exemplo, desta vez em . A afirmação que queremos provar é: para cada subconjunto finito de , o tamanho do conjunto de potência de é ³. Nós realizar a indução sobre , mais uma vez, a saber, sobre o tamanho de subconjuntos . $(2^\mathbb{N}, \subseteq)$ $A$ $\mathbb{N}$ $2^A$ $A$ $2^{|A|}$ $(\mathbb{N}, \leq)$ $A$

Âncora: considere o (apenas) conjunto de tamanho , o conjunto vazio. Claramente, e, portanto, conforme reivindicado. $0$ $2^\emptyset = \{\emptyset\}$ $|2^\emptyset| = 1 = 2^0$
Hipótese: Suponha que para todos os conjuntos com com algum arbitrário, mas fixo , temos . $A \subseteq \mathbb{N}$ $|A| \leq n$ $n \in \mathbb{N}$ $|2^A| = 2^{|A|}$
Etapa: Seja arbitrário⁴ de tamanho , e deixe arbitrário (tal existe como ). Agora, a hipótese se aplica a e, portanto, . Desde a $B \subseteq \mathbb{N}$ $n+1$ $b \in B$ $b$ $n+1 > 0$ $B \setminus \{b\}$ $|2^{B \setminus \{b\}}| = 2^n$

$\qquad \displaystyle 2^B = 2^{B \setminus \{b\}} \cup \{ A \cup \{b\}\mid A \in 2^{B \setminus \{b\}} \}$ ,

nós temos realmente que conforme reivindicado. $|2^{B}| = 2 \cdot |2^{B \setminus \{b\}}| = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1}$

Novamente, por indução, a alegação é comprovada.

Agora, para o seu problema, use um truque comum: fortalecer a declaração . Se você formular sua reivindicação como "o autômato aceita todas as palavras com um número ímpar de um", obtém uma hipótese de indução como "entre todas as palavras de comprimento , exatamente aquelas com um número ímpar de unidades são aceitas pelo autômato". Isso não o levará a lugar algum, pois não sabemos nada sobre quantos estão contidos em qual parte de uma determinada palavra (aceita); a hipótese não se aplica ao que você corta da sua palavra selecionada arbitrariamente. $n$

Portanto, você deseja formular uma afirmação mais forte: "O autômato está no estado se e somente se a parte consumida da entrada continha um número ímpar de unidades" e mostre essa. Observe que isso implica na reivindicação anterior. $B$

Âncora : Depois de processar a única sequência de comprimento zero, , o autômato está claramente no estado conforme reivindicado. $\varepsilon$ $A$
Hipótese : suponha que a reivindicação seja válida para fragmentos de entrada de comprimento até escolhidos arbitrariamente, mas corrigidos. $n$
Etapa : considere uma palavra arbitrária . Existem dois casos.
1. contém um número par de unidades. Existem dois casos para o último símbolo.
  1. $w_n = 0$ : Nesse caso, contém um número par de . Pela hipótese de indução, o autômato está no estado após consumir . Consumir faz com que o autômato permaneça no estado , conforme reivindicado. $w' = w_1 \dots w_{n-1}$ $A$ $w'$ $w_n = 0$ $A$
  2. $w_n = 1$ : Nesse caso, contém um número ímpar de . Pela hipótese de indução, o autômato está no estado após consumir . Consumir faz com que o autômato mude para o estado , conforme reivindicado. $w' = w_1 \dots w_{n-1}$ $B$ $w'$ $w_n = 1$ $A$
2. $w$ contém um número ímpar de unidades. Semelhante ao caso 1.

O princípio da indução implica que a afirmação é verdadeira.

Você realiza a indução em alguma ordem parcial; a âncora precisa cobrir todos os elementos mínimos e, às vezes, mais (dependendo da declaração).
O "arbitrário, mas fixo" é essencial! Não podemos alterar na etapa e tratá-lo como se fosse um número fixo, mas também não podemos assumir nada sobre isso. $n$
Denotar a potência definida com pode parecer estranho. Está enraizado na observação de que o conjunto de potência é equivalente ao conjunto de todas as funções de a , o que é denotado assim. $2^A$ $A$ ${0,1}$
Escolher arbitrário é essencial para cobrir todo o espaço. Alguém pode ficar tentado a dizer: "Pegue qualquer e adicione um elemento que não existia antes". Nesse caso, isso faria o mesmo, mas pode ser fácil errar em configurações mais complicadas (por exemplo, adicionar nós aos gráficos). Sempre pegue um objeto maior arbitrário e depois separe-o para aplicar a hipótese em suas partes; nunca monte o objeto maior de menor que seja coberto pela hipótese. $B$ $A$

— Rafael
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