Encontrar uma cobertura mínima de um subconjunto de um produto cartesiano finito por produtos cartesianos

Dado um subconjunto de um produto cartesiano de dois conjuntos finitos, desejo encontrar uma cobertura mínima por conjuntos que são os próprios produtos cartesianos. $I \times J$

Por exemplo, dado um produto entre e , posso observar o subconjunto e tente cobri-lo com um número mínimo de produtos cartesianos. $I=\{A,B,C\}$ $J=\{1,2,3\}$ $\{(A,2), (B,3), (B,2)\}$

Duas maneiras de fazer isso são e , ambas exigindo 2 produtos. Uma solução abaixo do ideal pode ser dividida em três produtos triviais. $\{A\} \times \{2\} + B \times \{2,3\}$ $\{A,B\}\times \{2\} + \{B\}\times \{3\}$

Essa cobertura ideal pode ser encontrada com eficiência (por exemplo, em tempo polinomial)?

algorithms set-cover

— yuvalm2
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me lembra desse problema, "fatorando a junção cartesiana de vetores de bits" (cstheory.SE, redigido de maneira muito diferente), que tem conexões com os limites inferiores da teoria dos circuitos. em que contexto surge o seu problema?

— vzn

Meu contexto é segurança de rede. Em uma rede grande com muitos servidores, uma política de segurança define quais podem falar com quais. Se essa política for construída de forma incremental por um longo período de tempo, (como geralmente é), a descrição da política de segurança poderá ser simplificada, mesclando as regras de segurança. Desejo encontrar uma ótima simplificação.

— usar o seguinte comando

I \times J

$I \times J$

| I |

$|I|$

| J |

$|J|$

G = (L, R, E)

$G = (L, R, E)$

E

$E$

O NM reformula esse problema nos comentários ao encontrar um número mínimo de cliques bipartidos (bi-cliques) que cobrem um gráfico bipartido. os dois conjuntos mencionados são os 2 conjuntos de vértices do gráfico bipartido. os produtos cartesianos dos subconjuntos dos dois conjuntos de vértices são bicliques. A wikipedia afirma que esse é o problema de dimensão bipartida e é o problema GT18 em Garey e Johnson , comprovou o NP completo com base na reformulação direta do problema SP7 de base definida.

— vzn
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