Compreensão da resposta de Turing ao problema de Entscheidung

Peço desculpas se esta pergunta já foi feita antes, mas não consegui encontrar uma duplicata.

Acabei de ler The Annotated Turing e estou um pouco confuso.

Pelo que entendi, o problema do Entscheidung é se existe ou não um algoritmo que pode determinar se uma declaração é comprovável. No artigo, Turing define uma máquina K que provará todas as fórmulas prováveis. Isso parece quase uma solução para o problema, mas mais tarde Turing escreve:

Se a negação do que Gödel demonstrou tivesse sido comprovada, isto é, se, para cada A , A ou -A for possível, devemos ter uma solução imediata do problema de Entscheidung. Pois podemos inventar uma máquina K que provará consecutivamente todas as fórmulas prováveis. Cedo ou tarde, K alcançará A ou -A . Se atingir A , sabemos que A é comprovável. Se atingir -A , então, como K é consistente (Hilbert e Ackermann, p.65), sabemos que A não é comprovável.

O Teorema de Gödel mostrou que algumas afirmações são verdadeiras, mas não prováveis. Acho que o que não entendo é como o resultado de Gödel impede que a máquina K de Turing seja uma solução para o problema do Entscheidung. É tão simples quanto isso: existe alguma fórmula que a máquina K nunca encontrará, portanto continuará funcionando para sempre e nunca concluirá que a fórmula é improvável?

O que Gödel mostrou é que não há axiomatização finita de primeira ordem da teoria dos números naturais. O que isso significa é que, se você fornecer uma lista finita de axiomas e esquemas de primeira ordem, o sistema de prova correspondente não poderá provar todas as afirmações verdadeiras sobre os números naturais. Por exemplo, não será capaz de provar sua própria consistência (este é o segundo teorema da incompletude de Gödel). (Um sistema de prova é consistente se não provar uma afirmação e seu inverso.)

A máquina de Turing, quando aplicada a qualquer sistema finito de prova de primeira ordem $\Pi$, portanto, não poderá provar nem a afirmação de que $\Pi$ é consistente nem sua negação.

Obviamente, isso não prova que o próprio Entscheidungsproblem é insolúvel; talvez exista uma abordagem completamente diferente que funcione. Turing foi capaz de mostrar que, de fato, nenhuma abordagem (computável) funciona.