Invertendo uma matriz de banda


9

Eu tenho uma matriz de banda - uma matriz esparsa, quadrada e simétrica cuja estrutura se parece com a seguinte:N×N

matriz de banda

Aqui, a área sob as listras azuis são os elementos diferentes de zero; tudo o resto é zero

Existe um algoritmo para inverter esse tipo de matriz que é simples, mas mais eficiente que a eliminação gaussiana e a decomposição da LU?


3
Essas matrizes são chamadas de matrizes de banda (e, até onde eu sei, eram a motivação original para encontrar a largura de banda de um gráfico ), e possivelmente este artigo pode ser um ponto de partida útil.
G. Bach

@ G.Bach Obrigado, vou dar uma olhada no jornal. Você poderia me dizer a complexidade computacional do método?
usar o seguinte comando

Desculpe, não sei, pesquisei no Google por um minuto ou dois, mas pelo resumo parecia um começo promissor.
G. Bach

2
Deseja invertê-lo ou deseja resolver o sistema linear? A resposta é provavelmente a última, porque o inverso de uma matriz de banda é geralmente denso. Pergunta adicional: Existe mais estrutura para explorar?
Pseudônimo

2
ESTÁ BEM. A razão pela qual pergunto é que, na maioria dos casos, as pessoas que pensam que desejam inverter uma matriz provavelmente não o fazem. De qualquer forma, é uma boa pergunta!
Pseudônimo

Respostas:


5

Como nenhum dos comentários deu a resposta concreta, escreverei aqui explicitamente, caso alguém precise (como eu).

Em primeiro lugar, infelizmente, o inverso de uma matriz limitada por banda é uma matriz completa (não limitada por banda) em geral, portanto, basta preencher as entradas da matriz inversa. Ω(n2). Então, eu vou assumir que você só quer resolver um sistema linearUMAx=b.

Usando o algoritmo deste artigo , uma matriz limitada de banda geralUMA de tamanho n×n com largura de banda k pode ser decomposto em triangular kmatrizes de largura de banda eu e você no O(k2n)Tempo. De lá,euvocêx=b pode ser resolvido rapidamente O(kn)Tempo. Então, no geral, o tempo de execução seráO(k2n). Como acompanhamento, sek é constante, isso significa que o sistema pode ser resolvido em tempo linear (altamente útil).

Ao utilizar nosso site, você reconhece que leu e compreendeu nossa Política de Cookies e nossa Política de Privacidade.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.