Estratégia gananciosa para calcular o número mínimo de raios que atingem todos os balões

O problema mínimo de zap abaixo é o Exercício 11 na palestra de Jeff Erickson sobre "Algoritmo Greedy" .

O problema mínimo de zap pode ser declarado mais formalmente da seguinte maneira. Dado um conjunto$C$ do $n$ círculos no plano, cada um especificado por seu raio e pela $(x, y)$ coordenadas do centro, calcule o número mínimo de raios da origem que cruzam todos os círculos $C$. Seu objetivo é encontrar um algoritmo eficiente para esse problema. (Veja um exemplo de "9 balões com 4 raios" na figura abaixo)

Pergunta: Suponha que seja possível disparar um raio que não cruze nenhum balão. Descreva e analise um algoritmo ganancioso que resolva o problema mínimo de zap nesse caso especial.

Estou tendo problemas para abordar esse problema. Eu pensei que uma abordagem gananciosa seria usar o raio que cruza mais círculos e recuar, mas me disseram que isso estava errado. Por que é isso?

E qual é o sentido do fato de haver um raio que não cruza balões? Devo provar que alguma solução ótima usa esse fato?

Qualquer ajuda seria apreciada! Recentemente, comecei a aprender algoritmos :)

Algoritmo baseado na resposta de hengxin: https://cs.stackexchange.com/a/52293/42816

Prova por indução matemática

Nota: Não utilizou a implementação O (n log n)

Agora vamos provar a correção desse algoritmo usando indução matemática. Mostraremos que nosso algoritmo ganancioso não pode fazer pior do que a solução ideal.

Deixei $S'$seja o conjunto de raios disparados pelo nosso algoritmo ganancioso. Deixei$S$ ser o conjunto de raios disparados por outra solução ideal.

Nosso caso base é quando $n = 1$. Existe apenas um objeto para destruir, e nosso algoritmo ganancioso usa 1 raio, o que também é ideal. Então, isso dá uma olhada.

Agora, para nossa hipótese de indução, assumiremos que nosso algoritmo guloso é ideal para até $n$ objetos.

Afirmamos agora que o primeiro raio de $\alpha$ do $S'$ não pode fazer pior do que o de $S$.

Agora vamos considerar um $n+1$situação do objeto. Então, nós classificamos$S'$ e $S$ de acordo com $\alpha$, sentido horário. Agora vamos examinar o primeiro raio que ocorre a partir de$\alpha$sentido horário. No$S'$, esse primeiro raio, chame-o $R'$, não pode ser pior do que o de $S$, chame-o $R$, porque nosso algoritmo ganancioso diz que esse raio cruza a maioria dos objetos, incluindo o primeiro $\alpha$. Portanto,$R$ intercepta tanto ou menos objetos do que $R'$. Assim, podemos substituir$R$ com $R'$ na solução ideal $S$.

Agora, temos que descobrir se o resto $S'$ é ideal, cortando $R'$, que chamaremos $T'$. No entanto, como agora existem no máximo$n$ objetos, nossa hipótese de indução diz que nosso algoritmo ganancioso encontra uma solução ótima para $T'$. Como tal, o$R' + T'$O problema tem uma solução ideal do nosso algoritmo ganancioso. QED

Princípio: Você precisa disparar os raios em alguma ordem e escolher cuidadosamente a direção / ângulo adequados para o primeiro raio.

$Q_1:$Eu pensei que uma abordagem gananciosa seria usar o raio que cruza mais círculos e recuar, mas me disseram que isso estava errado. Por que é isso?

Veja a figura no problema. Suponha que haja apenas 4 balões: os dois verdes e os azuis. Se você disparar seu primeiro raio ao longo do eixo x (isso é permitido por sua estratégia gananciosa. Observe que suponho que os três balões maiores não possam ser atingidos por um único raio; caso contrário, mova-os levemente), você deixará os dois outros balões distantes. Como resultado, custa 3 raios, mas o ideal é 2.

$Q_2:$ Qual o sentido do fato de haver um raio que não cruza balões?

Portanto, o ponto principal é disparar o primeiro raio na direção certa. Aí vem o fato de que "existe um raio que não cruza nenhum balão".

A ideia básica é a seguinte:

• encontre primeiro a direção / ângulo $\alpha$ ao longo do qual um raio não cruza balões;
• identifique o primeiro balão (digamos, no sentido horário) $b$ em relação a esta direção / ângulo $\alpha$; Aqui$b$ é definido como o primeiro balão que você deixa quando você varre uma linha começando na direção / ângulo $\alpha$ sentido horário.
• disparar um raio que é $b$linha tangente à direita (no sentido horário) $l$， Remova todos os balões atingidos por $l$,
• e depois recursar.

$Q_3:$ Devo provar que alguma solução ótima usa esse fato?

Não é fácil provar que uma estratégia gananciosa está correta. Você pode tentar provar a idéia acima aplicando argumentos matemáticos de indução e troca ( ou talvez mostre que está errado! ). Uma dica é considerar o conjunto de raios disparados por um algoritmo arbitrário, classificá-los por ângulos em relação a$\alpha$ (horário) e compare-a com a solução ideal, uma a uma.

Implementação: nos comentários, o OP solicita uma$n \log n$algoritmo. Bem,$n \lg n$geralmente significa que você pode resolver algumas coisas primeiro. Talvez classifique todos os balões pelos ângulos das linhas de emaranhado direitas (no sentido horário novamente). Então é fácil aplicar a estratégia gananciosa acima. Essa é uma ideia aproximada. Como implementá-lo eficientemente, escolhendo / projetando boas estruturas de dados, é deixado como um exercício.