Por que o FACTOR está no Co-NP?

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Estou tendo problemas para entender os problemas PRIME, COMPOSITE, FACTOR e como eles estão relacionados em termos de complexidade. Entendo que o PRIME demonstrou estar em pelo teste de primalidade da AKS, e acredito que isso funcione também para o COMPOSITE. $P$

Quanto ao fator,

F A C T O R = {(m, r) : \exists s such that 1 < s < r and s divides m}

$FACTOR = \{(m,r) :\;\; \exists s \text{ such that} 1<s<r \text{ and } s \text{ divides } m\}$

pelo que tenho lido, parece que ele está em . Eu ver que é em uma vez que um certificado consistiria de um divisor primo de a menos de . Mas que tipo de certificado pode estabelecer que não existe esse divisor principal (em tempo polinomial)? $NP \cap Co-NP$ $NP$ $m$ $r$

complexity-theory factoring

— Fequish
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Para que um idioma esteja na prova de NP de que a entrada pertence ao idioma, deve haver um certificado que possa ser verificado em tempo polinomial. Isso não significa que exista um certificado para entradas não pertencentes ao idioma que possa ser verificado com eficiência.

— Sashas

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veja também NP variante completa de fatoração / ciência da computação teórica

— vzn

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Um certificado por não haver divisor não trivial de menor que $m$ $r$ é a fatoração de . Podemos verificar em tempo polinomial que todos os fatores são realmente primos (uma vez que a primalidade está em P pelo teste de primalidade da AKS ), que seu produto é e que todos eles são pelo menos . $m$ $m$ $r$

— Yuval Filmus
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Obrigado. E eu entendi corretamente que o algoritmo AKS pode nos dizer se um número é primo ou não no tempo polinomial, mas se não for primo, não nos indica os fatores?

— Fequish

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@Fequish: Se não é primo, a AKS não nos diz os fatores.

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e^{O ((\log n)^{1 / 3} (\log \log n)^{2 / 3})}

$e^{O((\log n)^{1/3}(\log\log n)^{2/3})}$

n

$n$

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Para adicionar à resposta de Yuval: O teste de primalidade do AKS foi descoberto em 2002. Antes disso, não tínhamos um algoritmo de tempo polinomial para verificar se um número é primo. No entanto, Pratt descobriu em 1975 o que hoje é conhecido como certificado Pratt para primalidade e provou que Primes está no NP. Podemos incluir esses certificados Pratt de primalidade para os fatores em nosso certificado para mostrar que o FACTOR está no coNP no lugar do uso do algoritmo AKS para verificar se os fatores são primos diretamente.

— Denis Pankratov
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Certificados Pratt na Wikipedia

— Kaveh