Como posso mostrar que o teorema de Cook-Levin não se relativiza?

A seguir, um exercício no qual estou preso (fonte: Sanjeev Arora e Boaz Barak; não é tarefa de casa):

Mostre que existe um oráculo $A$ e uma lingua $L \in NP^A$ de tal modo que $L$ não é redutível em tempo polinomial para 3SAT, mesmo quando a máquina que computa a redução tem acesso permitido a $A$.

O que eu tentei foi, pegue $A$ ser o oráculo para deter o problema e deixar $L=\{1^n | \;\exists \; \langle M,w \rangle \; \text{s.t.} \; |\langle M,w \rangle|=n \; \text{ and Turing machine M halts on w} \}$.

Com esta tarefa, garanto$L \in NP^{A}$ e $L$não é polinomial redutível para 3SAT se o oracle não for fornecido à máquina que está executando a redução. Embora para mapear uma instância$1^n$ Eu teria que procurar $2^n$mesmo que o oracle seja fornecido para a máquina de redução. Mas isso não parece uma prova da ausência de redução polinomial neste caso.

Existe uma maneira de provar isso usando o mesmo exemplo? Existe um exemplo mais simples?

Consulte o Teorema de Cook Levin relativizado? .

Consulte também o artigo de Arora, Implagiazo e Vazirani: Técnicas de relativização versus não relativização: o papel da verificação local .

No artigo de Baker, Gill e Solovay (BGS) sobre relativizações do P =? Pergunta NP (SIAM Journal on Computing, 4 (4): 431–442, dezembro de 1975) eles fornecem uma linguagem$B$ e $U_B$ de tal modo que $U_B \in NP^B$ e $U_B \not\in P^B$, provando assim que existem oráculos $B$ para qual $P^B \neq NP^B$.

Vamos modificar o $U_B$ e $B$ para $U_{B'}$ e $B'$ para que possamos obter um novo idioma que não possa ser reduzido para 3SAT, mesmo que exista disponibilidade de $B'$ como um oráculo.

Primeiro, suponha que possamos preencher todos os $3SAT$ instância booleana $\phi$ para $\phi'$ com algumas expressões fictícias adicionais 3CNF, tais que $|\phi'|$ é ímpar e eles são equivalentes, ou seja, $\phi$ é satisfatório se $\phi'$é satisfatório. Nós podemos fazer isso em$n+O(1)$ tempo e com $O(1)$ preenchimento, mas mesmo que demore tempo polinomial e preenchimento extra polinomial, isso não importa.

Agora precisamos combinar o $B$ e $3SAT$ para $B'$ de alguma forma, para que o teorema de BGS ainda se mantenha, mas adicionalmente $3SAT \in P^{B'}$. Então, fazemos algo como o seguinte.

$U_{B'} = \{1^n \ \ |\ \ \exists x \in B,$ de tal modo que $|x| = 1^{2n}\}$ e

$B' = B'_{constructed} \ \cup \{\phi \ \ |\ \ \phi \in 3SAT$ e $|\phi|$ é estranho $\}$.

Agora vamos construir $B'_{constructed}$ de acordo com o teorema tal que se a máquina determinística $M_i^{B'}$ para entrada $1^n$ ($n$ é determinado como no teorema) pergunta ao oráculo $B'$ uma consulta de comprimento ímpar, verificamos se está $3SAT$e responda corretamente, mas se ele solicitar uma consulta de tamanho uniforme, procederemos de acordo com a construção, ou seja, respondendo corretamente se já estiver na tabela, caso contrário, não responda sempre. Então, como estamos concorrendo$1^n$ lançamos as respostas em $2n$ comprimento para que $M_i^{B'}$ não decide $U_{B'}$.

Podemos provar da mesma forma que no teorema BGS que, para esse $B'$ e $U_{B'}$ também, nós temos $U_{B'} \in NP^{B'}$ e $U_{B'} \not\in P^{B'}$.

$U_{B'} \in NP^{B'}$é fácil de provar. Construímos uma máquina de Turing não determinística que, para entrada$1^n$ cria ramificações não determinísticas que são executadas para $2n$ etapas para gerar um diferente $2n$de comprimento e depois pergunta ao oracle $B'$ se o $2n$de comprimento está em $B'$e, se a resposta for sim, ela aceita $1^n$ senão ele rejeita $1^n$. Essa construção mostra que$U_{B'} \in NP^{B'}$.

$U_{B'} \not\in P^{B'}$pode ser provado com a ajuda do argumento da diagonalização. Basicamente, é diferente de cada$L(M_i^{B'})$ para cada máquina de Turing da Oracle que tenha $B'$como um oráculo. Isto é por causa de como construímos$B'_{constructed}$.

Agora, provaremos por contradição que não existe uma redução de $U_{B'}$ para $3SAT$ mesmo com a disponibilidade do oracle $B'$.

Suponha que haja uma redução usando o oracle $B'$, ou seja, $U_{B'} \leq^{B'}_P 3SAT$.

Isso significa que podemos reduzir uma string do formulário $1^n$ para uma instância 3SAT $\phi$ usando uma máquina determinística de tempo polinomial que usa $B'$ como oráculo.

Agora podemos descrever uma MT determinística $M^{B'}$ que decidirá as strings $U_{B'}$ em tempo polinomial usando $B'$como um oráculo. Primeiro, esta máquina reduz a entrada$1^n$ para uma instância 3SAT $\phi$ usando $B'$como um oráculo. Isso pode ser feito porque temos a redução acima. Então se$\phi$ não é comprimento ímpar $M^{B'}$ vai preenchê-lo para fazer $\phi'$qual é o comprimento impar. Em seguida, isso dará a isso$\phi'$ oráculo $B'$e obtenha a resposta sim / não. Ele aceitará se a resposta for sim e rejeitará se a resposta for não.

Esta máquina é deterministicamente polinomial e usa oracle $B'$.

Assim, provamos que $U_{B'} \in P^{B'}$, uma contradição .

Portanto $U_{B'} \not\leq^{B'}_P 3SAT$.