Pilha fundível aleatória - altura esperada

Heaps mescláveis aleatórios possuem uma operação "meld", que usamos para definir todas as outras operações, incluindo insert.

A questão é: qual é a altura esperada dessa árvore com nós? $n$

O teorema 1 de Gambin e Malinkowski, Filas de prioridade aleatória fundível (Proceedings of SOFSEM 1998, Lecture Notes in Computer Science vol. 1521, pp. 344–349, 1998; PDF ) dá a resposta a esta pergunta com prova. No entanto, não entendo por que podemos escrever:

E [h_{Q}] = \frac{1 1}{2} ((1 1 + E [h_{Q_{eu}}]) + (1 1 + E [h_{Q_{R}}])) .

$\mathbb{E} [ h_Q] = \frac{1}{2} ((1 + \mathbb{E}[h_{Q_L}]) + (1 + \mathbb{E}[h_{Q_R}]))\,.$

Para mim, a altura da árvore é

h_{Q} = 1 1 + max {h_{Q_{eu}}, h_{Q_{R}}},

$h_Q = 1 + \max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}\,,$

que posso expandir para:

E [h_{Q}] = 1 1 + E [max {h_{Q_{eu}}, h_{Q_{R}}}] = 1 1 + \sum k P [max {h_{Q_{eu}}, h_{Q_{R}}} = k] .

$\mathbb{E} [ h_Q] = 1 + \mathbb{E}[\max \,\{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}] = 1 + \sum k \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k]\,.$

A probabilidade de que a altura máxima de duas subárvores seja igual a pode ser reescrita usando a lei da probabilidade total: $k$

\begin{aligned} P [max {h_{Q_{eu}}, h_{Q_{R}}} = k] \\ = P [max {h_{Q_{eu}}, h_{Q_{R}}} = k ∣ h_{Q_{eu}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{eu}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [max {h_{Q_{eu}}, h_{Q_{R}}} = k ∣ h_{Q_{eu}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{eu}} > h_{Q_{R}}] \\ = P [h_{Q_{R}} = k ∣ h_{Q_{eu}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{eu}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [h_{Q_{eu}} = k ∣ h_{Q_{eu}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{eu}} > h_{Q_{R}}] . \end{aligned}

$\begin{align*} \hspace{2em}&\hspace{-2em} \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k] \\ &= \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L}\leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em} + \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \\ &= \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,. \end{align*}$

Então, no final, eu recebo:

\begin{aligned} E [h_{Q}] & = 1 1 + \sum k {P [h_{Q_{R}} = k ∣ h_{Q_{eu}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{eu}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [h_{Q_{eu}} = k ∣ h_{Q_{eu}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{eu}} > h_{Q_{R}}]} . \end{aligned}

$\begin{align*}\mathbb{E} [ h_Q] &= 1 + \sum k \{ \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \}\,. \end{align*}$

É aqui que estou preso. Eu posso ver que é mais ou menos igual $\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]$ (No entanto, precisamos no máximo $\frac{1}{2}$ ) Mas exceto que nada levando à fórmula desde o início. $\leq \frac{1}{2}$

As alturas das subárvores não parecem independentes para mim.

Obrigado pela ajuda.

— Mateusz Wyszyński
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$h_Q$ não é a altura. É o comprimento de uma caminhada aleatória da raiz em uma árvore binária completa (eles insistem que todas as folhas são "nulas"), então a expressão que elas têm é a coisa certa.

Além disso, você pode evitar a indução. A probabilidade de terminar em uma folha específica de profundidade $d$ é apenas $2^{-d}$ . Portanto, a duração esperada da caminhada é

\sum_{ℓ \in folhas (Q)} profundidade (ℓ) 2^{- profundidade (ℓ)}

$\sum_{\ell\in \text{leaves}(Q)} \text{depth}(\ell)2^{-\text{depth}(\ell)}$

qual a entropia de uma distribuição um conjunto de tamanho $|\text{leaves}(Q)|$ .

— Louis
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Você poderia explicar com mais detalhes por que não preciso usar a indução? Eu concordo com a fórmula para o comprimento esperado. Eu simplesmente não vejo por que deveria ser O (logn)? O que você quer dizer com entropia de uma distribuição em strings?

— Mateusz Wyszyński 21/03

Porque a entropia de uma distribuição em um conjunto de tamanho

n

$n$ é conhecido por ser maximizado por uma distribuição uniforme; nesse caso, é

\log n

$\log n$ .

— Louis