Problema concluído para a classe de TODOS os idiomas

$\text{ALL}$ é literalmente a classe de todos os idiomas.

Existem problemas completos? Ou seja, existem problemas para os quais uma solução permitiria resolver qualquer problema? Tais problemas poderiam razoavelmente ser considerados "os problemas mais difíceis, exceto nenhum". $\text{ALL}$

Um desses problemas parece ser: dado um problema e um tamanho de entrada, produza sua tabela de verdade.

undecidability

— Demi
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há um sentido em que este é exatamente o conceito por trás Turing completude línguas / TM-complete ...

— vzn

Você não especificou sua noção de redução, portanto, assumirei que você escolheu alguma classe contável de funções $\cal F$ que pode ser usada para reduções (qualquer subconjunto das funções computáveis funcionaria aqui). Deixei $\cal L$ qualquer classe de idiomas sobre algum alfabeto fixo $\Sigma$ digamos $\Sigma = \{0,1\}$ . Uma linguagem $K$ é difícil para $\cal L$ (em relação a $\cal F$ ) se para cada $L \in \cal L$ existe $f \in \cal F$ de tal modo que $x \in L$ iff $f(x) \in K$ . Se também $K \in \cal L$ então dizemos isso $K$ está completo para $\cal L$ .

Agora vou mostrar que nenhum idioma é difícil para $\mathsf{ALL}$ . Suponha que $K$ estavam $\mathsf{ALL}$ -Difícil. Deixei $f_x : x \in \Sigma^*$ ser uma enumeração das funções em $\cal F$ (existe uma enumeração porque os dois $\Sigma^*$ e $\cal F$ são contáveis). Definir um idioma $L$ de

L = {x : f_{x} (x) \notin K} .

$L = \{x : f_x(x) \notin K \}.$ Desde a

L \in A L L

$L \in \mathsf{ALL}$ , existe uma função

f \in F

$f \in \cal F$ tal que para todos

x \in Σ^{*}

$x \in \Sigma^*$ ,

x \in L

$x \in L$ iff

f (x) \in K

$f(x) \in K$ . Desde a

f \in F

$f \in \cal F$ , existe

x \in Σ^{*}

$x \in \Sigma^*$ de tal modo que

f = f_{x}

$f = f_x$ . Para este particular

x

$x$ ,

x \in L

$x \in L$ iff

f_{x} (x) \in K

$f_x(x) \in K$ . No entanto, por definição

x \in L

$x \in L$ iff

f_{x} (x) \notin K

$f_x(x) \notin K$ .

— Yuval Filmus
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Argumento interessante de cardinalidade. E o problema que eu dei na pergunta (dada uma descrição da função, retorne sua tabela de verdade)? Parece que esse problema (que é obviamente muito indecidível) permitiria que qualquer problema fosse resolvido (obtenha a tabela verdade do oráculo e, em seguida, procure o problema). Você pode explicar onde meu argumento dá errado, além do fato de que (obviamente) esse oráculo não existe?

— Demi

É a sua intuição que dá errado. Você não pode inserir um "problema", pois os problemas não têm descrições finitas em geral.

— Yuval Filmus

Então, basicamente, mesmo um oráculo todo-poderoso (que poderia responder a qualquer pergunta) ainda é inadequado para resolver alguns problemas, porque não há como fornecer ao oráculo as informações necessárias?

— Demi

Não existe um oráculo todo-poderoso, exatamente por esse motivo. A prova de indecidibilidade do problema de parada pode ser estendida para mostrar que, dado qualquer oráculo

O

$O$ , o problema de decidir se uma máquina de Turing com acesso a

O

$O$ pára permanece indecidível, mesmo tendo acesso a

O

$O$ . Por outro lado, podemos construir um oráculo que pode "redirecionar" para

O

$O$ ou resolver o problema de parada da máquina com acesso a

O

$O$ . Este oráculo é mais poderoso do que

O

$O$ .

— Yuval Filmus

Ah ok. Portanto, a razão pela qual oráculos todo-poderosos não existem, enquanto

E X P / e x p = A L L

$EXP/exp = ALL$ , é porque o conselho pode depender de uma quantidade infinita de informações sobre o problema?

— Demi