Decidibilidade de um problema relativo a polinômios

Eu me deparei com o seguinte problema interessante: sejam polinômios sobre o campo dos números reais e suponhamos que seus coeficientes sejam todos inteiros (ou seja, existe uma representação exata finita desses polinômios). Se necessário, podemos supor que o grau de ambos os polinômios seja igual. Vamos denotar por (resp. ) o maior valor absoluto de alguma raiz (real ou complexa) do polinômio (resp. ). A propriedade decidível?$p,q$x q p q x p = x $x_p$$x_q$$p$$q$$x_p = x_q$

Caso contrário, essa propriedade é válida para algumas famílias restritas de polinômios? No contexto em que esse problema surge, os polinômios são polinômios característicos das matrizes e suas raízes são valores próprios.

Estou ciente de alguns algoritmos numéricos para calcular raízes de polinômios / autovalores, no entanto, estes parecem não ser úteis aqui, pois a saída desses algoritmos é apenas aproximada. Parece-me que a álgebra computacional pode ser útil aqui, no entanto, infelizmente, eu não tenho quase nenhum conhecimento nesse campo.

Não estou procurando uma solução detalhada para esse problema; no entanto, qualquer intuição e idéias para procurar a solução seriam úteis.

Agradeço antecipadamente.

Também não conheço esse campo, mas acho que posso fornecer uma resposta não construtiva.

A teoria de primeira ordem dos campos fechados reais é decidível. Seu problema pode ser declarado como um sistema de equações e inequações algébricas sobre os números algébricos reais. Considere variáveis x 1 , … , x deg P , y 1 , … , y deg P , x ′ 1 , … , x ′ deg P , y ′ 1 , … , y $2 (\deg P + \deg Q)$ . Você deseja saber se o seguinte sistema é satisfatório: \ begin {align *}  P (x_j + i \, y_j) & = 0 & \ text {for \ (1 \ le j \ le \ deg P \)} \\  Q (x'_k + i \, y'_k) & = 0 & \ text {for \ (1 \ le k \ le \ deg Q \)} \\  x_j ^ 2 + y_j ^ k & \ le x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 & \ text {for \ (2 \ le j \ le \ deg P \)} \\  x'_j ^ 2 + y'_j ^ k & \ le x'_1 ^ 2 + x'_2 ^ 2 & \ text {for \ (2 \ le k \ le \ deg Q \)} \\  x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2 = x'_1 ^ 2 + y'_1 ^ 2 \\$x_1,\ldots,x_{\deg P}, y_1,\ldots,y_{\deg P}, x'_1,\ldots,x'_{\deg P}, y'_1,\ldots,y'_{\deg P}$

$$\begin{align*} P(x_j+i\,y_j) &= 0 & \text{for \(1 \le j \le \deg P\)} \\ Q(x'_k+i\,y'_k) &= 0 & \text{for \(1 \le k \le \deg Q\)} \\ x_j^2 + y_j^k &\le x_1^2 + x_2^2 & \text{for \(2 \le j \le \deg P\)} \\ x'_j^2 + y'_j^k &\le x'_1^2 + x'_2^2 & \text{for \(2 \le k \le \deg Q\)} \\ x_1^2 + y_1^2 = x'_1^2 + y'_1^2 \\ \end{align*}$$

As duas primeiras famílias de equações expressam que e x ′ k + $x_j+i\,y_j$ são raízes dos polinômios, as próximas duas famílias de inequação expressam que x 1 + $x'_k+i\,y'_k$ e x ′ 1 + $x_1+i\,y_1$ tem o maior valor absoluto e a última inequação compara esses maiores valores absolutos.$x'_1+i\,y'_1$

É decidível se esse sistema é satisfatório: seu problema é decidível. No entanto, essa afirmação provavelmente não é a maneira mais eficiente de fazer isso.

Uma resposta mais útil provavelmente envolve a teoria das bases de Gröbner . Se você está tentando resolver esse problema, acho que ler os primeiros capítulos de qualquer livro de álgebra computacional fornecerá o histórico necessário. Se você está apenas tentando resolver seu problema subjacente, provavelmente existe um algoritmo disponível no mercado que você pode implementar.

Eu posso estar errado sobre isso: também não tenho muito conhecimento neste campo (onde estão os especialistas !?), mas acredito que tenho um algoritmo razoavelmente rápido para o que você está perguntando.

$P$$I$$x_P\in I$$x_P'\notin I$$P$ $R$$P$$Q$$R$$I$

$R$$P$$Q$$I$$x_P$$Q$

Este é apenas um esboço, mas não é preciso muito para transformar isso em um algoritmo de boa-fé , na verdade, suspeito que o uso do Maple ou do Mathematica tornaria isso trivial.