Uma máquina de Turing (TM) pode decidir se o problema de parada se aplica a todas as TMs?

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Neste site, existem muitas variantes sobre a questão de saber se as TMs podem decidir o problema da parada, seja para todas as outras TMs ou para certos subconjuntos. Esta questão é um pouco diferente.

Ele pergunta se o fato de o problema de parada se aplicar a todas as TMs pode ser decidido por uma TM. Acredito que a resposta é não e desejo verificar meu raciocínio.

Definir a linguagem de meta-suspensão como a linguagem composto de TMs que decidir se uma TM paradas. $L_{MH}$

L_{M H} = {M : \forall_{M^{'}, w} M (M^{'}, w) accepts if M^{'} (w) halts, rejects otherwise}

$L_{MH} = \{ M : \forall_{M',w} M(M', w) \text{ accepts if $M'(w)$ halts, rejects otherwise}\}$

devido ao problema de parada. $L_{MH}= \emptyset$

Assim, a pergunta do título afirmava com mais precisão: é decidível se ? $L_{MH} = \emptyset$

De acordo com o teorema de Rice, é indecidível se uma re-linguagem está vazia.
Nos dois casos, se é ou não é re, é indecidível se . $L_{MH}$ $L_{MH} = \emptyset$
Portanto, é indecidível se . $L_{MH} = \emptyset$

Isso prova que uma TM não pode decidir se o problema de parada se aplica a todas as TMs.

Meu entendimento está correto?

ATUALIZAÇÃO: Estou tentando mostrar que uma TM não pode "provar o problema da parada" para alguma definição de "provar" que parece intuitivamente correta. Abaixo está uma ilustração de por que acho que isso está correto.

Podemos criar uma TM que gera da seguinte maneira. A TM realiza uma tupla . Ele simula para iterações de . Se aceita tudo $M_{MH}$ $L_{MH}$ $(M_i,M_j,w_k,steps)$ $M_i(M_j, w_k)$ $steps$ $M_i$ $(M_j, w_k)$ pares que param e rejeita todos os outros, então aceita . Caso contrário, rejeitará se decidir incorretamente ou não for interrompido. $M_{MH}$ $M_i$ $M_i$ $M_i$

não para, porque deve avaliar um número infinito de pares para cada . Além disso, todo o s deixará de parada. será incapaz de aceitar ou rejeitar qualquer , pois não saberá da simulação que todos os s falharão em interromper. Assim, a linguagem que define não é re e não é decidível. $M_{MH}$ $M_i$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_i$

captura minha intuição do que eu acho que significa para uma MT provar o problema da parada. Outras sugestões, como rejeitar todos ou apresentar uma prova conhecida, dão a conhecimento prévio de que o problema de parada se aplica a todos os . Isso não pode contar como provando algo desde o premissa 's é a conclusão que está provando, e, portanto, é circular. $M_{MH}$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_{MH}$

— yters
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Sua correção não ajuda. Um problema sem parâmetros é sempre decidível, seja por uma máquina de Turing que sempre gera SIM ou por uma que sempre gera NO. Infelizmente, sua linha de argumentação não funciona. O verdadeiro análogo do teorema de Gödel é o teorema de Rice.

— Yuval Filmus

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"Ele pergunta se o fato de o problema de parada se aplicar a todas as MTs pode ser decidido por uma MT". - essa consulta não faz sentido, pois o problema de parada não "se aplica" a um conjunto de TMs. Pelo menos, não sei o que isso significa.

— Raphael

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{M : L (M) = \emptyset}

$\{ M : L(M) = \emptyset \}$

\emptyset

$\emptyset$

\emptyset

$\emptyset$

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Eu acho que o mal-entendido está no significado da expressão "decidir X". Formalmente, X deve ser um predicado em seqüências de caracteres e, em seguida, uma máquina que decide X é aquela que na entrada s gera o valor verdadeiro de X ( s ). Qual é o predicado no seu caso? Qual é a sua entrada e quando é verdade?

— Yuval Filmus

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X

$X$

X

$X$

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$\varphi$ $L_{MH} = \emptyset$

$P = \{ x \mid x \mbox{ is a valid proof of } \varphi \mbox{ in ZFC}\}$
$M$ $\varphi$ $\neg \varphi$ $M$
$\{ M \mid M \mbox{ decides } P \}$

— Vor
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A linguagem das máquinas de Turing que decidem o problema da parada é decidível. Uma máquina de Turing que decide simplesmente sempre gera NO.

$\emptyset$

$T$ $L(T) = \emptyset$

— Yuval Filmus
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O idioma vazio é decidível. Lide com isso.

— Yuval Filmus

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A linguagem das máquinas de Turing que decidem o problema da parada está vazia. O idioma vazio é decidível. Portanto, a linguagem das máquinas de Turing que decidem o problema da parada é decidível.

— Yuval Filmus

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A questão é se uma TM pode decidir o idioma das máquinas de Turing que decidem que o problema da parada está vazio. Uma TM não pode fazer isso como mostrei acima.

— yters

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@yters Você está perguntando se uma TM pode provar que esse idioma está vazio? Isso pode ser feito facilmente, simplesmente produzindo uma prova conhecida existente.

— user253751

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O que significa mesmo para uma TM provar alguma coisa?

— Yuval Filmus

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Você entende mal o teorema de Rice.

O teorema de Rice, nesse contexto, diz que você não pode decidir o problema "T decide a linguagem vazia?".

Seu problema não é decidir se uma máquina de Turing arbitrária decide o idioma vazio. Seu problema é se existe ou não um M que decide o idioma vazio.

E tais M existem. Você pode fazer ainda melhor do que isso: na verdade, você pode construir um M e fornecer uma prova de que ele decide o idioma vazio.

O problema geral de não ser decidido não significa que você não pode resolver instâncias específicas. De fato, pelo dispositivo usual de enumerar todas as provas, existe uma máquina de turing que:

Aceita todas as máquinas de turing para as quais existe uma prova de que decide o idioma vazio
Rejeita todas as máquinas de turing para as quais existe uma prova de que não decide o idioma vazio
Não pára se não puder ser provado de qualquer maneira.

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A definição sobre decidibilidade da Wikipedia :

Uma linguagem recursiva é uma linguagem formal para a qual existe uma máquina de Turing que, quando apresentada com qualquer sequência de entrada finita , interrompe e aceita se a sequência está no idioma e interrompe e rejeita o contrário. A máquina de Turing sempre para: é conhecida como decisora e diz-se que decide a linguagem recursiva.

Em outras palavras, é decidível se houver uma máquina de Turing que decida todas as seqüências de entrada. É indecidível se, para cada máquina de Turing, ela não decide todas as cadeias de entrada, o que significa que ela pode decidir nenhuma ou algumas cadeias, mas há pelo menos uma (mas praticamente pelo menos infinita delas) que não pode decidir.

$L$ $L = \emptyset$ $L_{MH} = \emptyset$

— user23013
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