Como posso decidir manualmente se duas fórmulas CTL são equivalentes?

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Suponha que eu tenho duas fórmulas $\Phi$ e $\Psi$ (sobre o mesmo conjunto de proposições atômicas $AP$ ) em CTL . Nós temos isso $\Phi \equiv \Psi$ iff $Sat_{TS}(\Phi) = Sat_{TS}(\Psi)$ para todos os sistemas de transição $TS$ sobre $AP$ .

Dado que existem infinitos sistemas de transição, é impossível verificar todos eles. Pensei em usar o PNF (Forma Normal Positiva, permitindo a negação apenas ao lado dos literais) porque, a julgar pelo nome, deveria me dar a mesma fórmula para $\Phi$ quanto a $\Psi$ se eles são equivalentes, mas não estou convencido de que isso funcione em todos os casos (você poderia dizer, não estou convencido de que o PNF seja realmente uma forma normal).

Por exemplo, pegue $\forall \mathrm{O} \forall \lozenge \Phi_0 \stackrel{?}{\equiv} \forall \lozenge \forall \mathrm{O} \Phi_0$ (Onde $\mathrm{O}$ é o nextoperador e $\lozenge$ é o eventuallyoperador). Estou procurando uma maneira de fazer isso manualmente.

logic model-checking computation-tree-logic

— bitmask
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O que é

S a t_{T S}

$Sat_{TS}$ ? A fórmula satisfaz o sistema de transição? Presumo que sua definição de sistema de transição inclua um estado inicial e a fórmula seja verificada nesse estado.

— Vijay D

@VijayD:

S a t_{T S}

$Sat_{TS}$ é o conjunto de estados de TS para o qual, começando em um desses estados, satisfaz a fórmula.

— bitmask

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Parece-me que " $\Phi≡\Psi$ "é equivalente a" Nem $(\Phi ∧ ¬\Psi)$ nem $(\Psi ∧ ¬\Phi)$ é satisfatório ".

Portanto, decidir a equivalência é tão difícil quanto decidir a satisfação, já que " $\Phi$ satisfatório "é equivalente a" não ( $¬\Phi≡\top$ ) ".

Em este artigo há uma menção de um um procedimento exponencial para decidir satisfiability em CTL, por isso deve ser suficiente para executar o algoritmo sobre as duas fórmulas que escrevi acima.

PS: Eu não sou um especialista neste campo, portanto, verifique o que escrevi. Se isso fizer sentido, removerei os vários "parece" e "deveria".

— jmad
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Não sei se isso está correto (algo não parece certo, mas não posso colocar o dedo nela), mas acredito que há uma maneira mais fácil de fazer isso.

— bitmask

Por que não basta escrever "Verifique se

\neg (Φ \equiv Ψ)

$\neg(\Phi\equiv\Psi)$ é satisfatório. "?

— Dave Clarke

@DaveClarke: ele define

\equiv

$≡$ com uma quantificação sobre todos os LTS, então

\equiv

$≡$ não está na gramática. Contudo

\neg (Φ \Leftrightarrow Ψ)

$¬(\Phi\Leftrightarrow\Psi)$ parece bom. Você acha que é melhor? Acho que minha formulação faz o leitor sentir a diferença entre sintaxe e semântica, mas quem sou eu para julgar?

— Jmad

O artigo que você citou usa

\equiv

$\equiv$ em vez do habitual

\Leftrightarrow

$\Leftrightarrow$ , é por isso que usei esse símbolo. Pareceu mais direto do que sua afirmação, mas quem sou eu para julgar?

— 22412 Dave Clarke

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Se você quiser provar as identidades manualmente, não sei se existem técnicas absolutamente gerais. Você pode começar com os axiomas e identidades conhecidas para CTL e trabalhar a partir daí.

Se você quiser a resposta e se preocupar em ter uma prova legível por humanos separadamente, use um verificador de satisfação de CTL como o MLSolver .

— Vijay D
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Seu exemplo não é equivalência, assuma um sistema de transição por dois estados, todos eles iniciais, e há um loop no estado que satisfaz \ phi. Para provar a equivalência de duas fórmulas CTL, você deve usar a definição de semântica.

— rahim
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Você poderia expressar isso na caracterização do ponto de fixação para fórmulas CTL? Isso pode ajudá-lo a provar sua equivalência. http://www-2.cs.cmu.edu/~modelcheck/ed-papers/VTfFSCS.pdf

— Rohit
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Isso é um comentário / solicitação ou resposta?

— A.Schulz

Bem, eu não conheço uma técnica de prova padrão para provar equivalência. Portanto, deve ser uma pergunta para a comunidade. Poderíamos usar a caracterização do ponto de fixação para provar equivalência?

— Rohit

Então sua observação se qualifica como um comentário. Por favor, publique como um comentário e exclua sua "resposta".

— A.Schulz