Por que a altura mínima de um

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Na minha aula de Java, estamos aprendendo sobre a complexidade de diferentes tipos de coleções.

Em breve estaremos discutindo árvores binárias, sobre as quais tenho lido. O livro afirma que a altura mínima de uma árvore binária é , mas não oferece mais explicações. $\log_2(n+1) - 1$

Alguém pode explicar o porquê?

— CodyBugstein
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Eu explico-lo aqui stackoverflow.com/a/13093274/550393

— 2cupsOfTech

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Uma árvore binária possui 1 ou 2 filhos nos nós não foliares e 0 nós nos nós foliares. Haja nós em uma árvore e temos que organizá-los de tal maneira que eles ainda formam uma árvore binária válido. $n$

Sem provar, estou afirmando que, para maximizar a altura, determinados nós devem ser organizados linearmente, ou seja, cada nó não-folha deve ter apenas um filho:

Aqui, a fórmula para calcular a relação da altura em termos de número de nós é direta. Se é a altura da árvore, então . $h$ $h = n-1$

$n$

                              O
                              |1
                              |
                       O------+-----O
                       |2           |3
                       |            |
                   O---+---O    O---+----O
                   |4      |5    6        7
                   |       |
               O---+--O    O
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$n = 2^m - 1$

2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + . . . + 2^{m - 1} = 2^{m} - 1

$2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{m-1} = 2^m - 1$

$i$ $2^i$

$i$ $0$ $m$ $2^{i-1}$ $2^m - 1$ $2^m - 1$ $h(2^m-1) = m-1$ $h(n) =$ $n$

$h(2^m) = m$ $2^m-1$ $(2^m-1)+1 = 2^m$ $m$ $m-1$ $m$

h (2^{m}) = m,

$h(2^m) = m,$

h (2^{m + 1}) = m + 1

$h(2^{m+1}) = m+1$

h (2^{m + 1} - 1) = m

$h(2^{m+1} -1) = m$

$\forall n \in \mathbb{Z}, 2^m \leq n < 2^{m+1}$

m \leq h (n) < m + 1

$m \leq h(n) < m+1$

m \leq \log_{2} (n) < m + 1

$m \leq \log_2(n) < m+1$

m = ⌊ \log_{2} (n) ⌋

$m = \lfloor \log_2(n) \rfloor$

$\forall n, n \in [2^m, 2^{m+1})$

h (n) = m = ⌊ \log_{2} (n) ⌋

$h(n) = m = \lfloor \log_2(n) \rfloor$

$\forall n \in \mathbb{Z}$

$\log_2(n+1)-1$ $n$ $\log_2(n)$ $n$

— Anurag Kalia
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$n$

$4$ $1+1\cdot2+1\cdot2\cdot2+1\cdot2\cdot2\cdot2$ $3$

nodes = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + . . . + 2^{depth} = \sum_{k = 0}^{depth} 2^{k} = \frac{1 - 2^{depth + 1}}{1 - 2} .

$\text{nodes}=1+2+2^{2}+2^{3}+...+2^{\text{depth}}=\sum_{k=0}^{\text{depth}} 2^{k}=\frac{1-2^{\text{depth}+1}}{1-2}.$

nodes = 2^{depth + 1} - 1,

$\text{nodes}=2^{\text{depth}+1}-1,$

\begin{array}{rcl} nodes + 1 & = & 2^{depth + 1} \\ \log_{2} (nodes + 1) & = & \log_{2} (2^{depth + 1}) = depth + 1 \\ \log_{2} (nodes + 1) - 1 & = & depth . \end{array}

$\begin{eqnarray} \text{nodes}+1&=&2^{\text{depth}+1}\\ \log_{2}(\text{nodes}+1)&=&\log_{2}(2^{\text{depth}+1})=\text{depth}+1\\ \log_{2}(\text{nodes}+1)-1&=&\text{depth}. \end{eqnarray}$

— MikeDan
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Para manter a altura mínima, é fácil ver que precisamos preencher todos os níveis, exceto possivelmente o último. Por quê? caso contrário, poderíamos simplesmente mover os nós do último nível para os slots vazios nos níveis superiores.

Agora, imagine que eu tenho um número não especificado de beans e lhe dou um bean de cada vez e peço que você construa uma árvore binária com a altura mínima possível. Eu posso ficar sem feijão no momento em que você preencheu o último nível completamente ou pelo menos tem um feijão no último nível. Digamos que você tenha a altura da sua árvore h neste momento.

2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{h} = 2^{h + 1} - 1 \leq n .

$2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3}+\dots+2^{h}=2^{h+1}-1 \leq n\,.$

h = \lg (n + 1) - 1 .

$h = \lg(n+1)-1\,.$

— user1234
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