Uma pergunta relacionada a uma máquina de Turing com um estado inútil

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OK, então aqui está uma pergunta de um teste passado na minha aula de Teoria da Computação:

Um estado inútil em uma TM é aquele que nunca é inserido em nenhuma sequência de entrada. Deixe Prove que é indecidível.
${U S E L E S S}_{T M} = {⟨ M, q ⟩ ∣ q is a useless state in M} .$ $\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}} = \{\langle M, q \rangle \mid q \text{ is a useless state in }M\}.$ $\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

Acho que tenho uma resposta, mas não tenho certeza se está correta. Incluirá na seção de respostas.

— BrotherJack
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No futuro, inclua suas tentativas na pergunta!

— Raphael

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@Rapael Acabou de fazer. Eu o escrevi quando fiz a pergunta, mas, devido à minha falta de reputação, não consegui postar por pelo menos 8 horas. Eu estaria interessado em saber se é uma resposta válida.

— BrotherJack

Não, eu quis dizer apenas incluí-lo na pergunta se houver pontos específicos em que você não tenha certeza.

— Raphael

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Isso é claramente redutível a partir do Problema da Parada. Se uma máquina não parar na entrada , qualquer estado final será "inútil". Dada uma entrada para o problema de , é fácil construir que para em todas as entradas (portanto, seu estado final não é inútil) se e somente se parar em . Dessa forma, você pode decidir o Problema de Parada se puder decidir , o que gera uma contradição. $M$ $x$ $M,x$ $M_x$ $M$ $x$ $\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

— Tocou.
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..e como o problema da parada é indecidível, esse problema também é indecidível, correto?

— BrotherJack

De fato, isso está correto.

— Ran G.

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Para os fins desta prova, assumiremos que é decidível para exibir uma contradição. $\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

Crie o TM que faça o seguinte: $R$

Converte o TM em um autômato de empilhamento com uma pilha relaxada (ou seja, sem necessidade de LIFO). Isso é equivalente a um gráfico direcionado detalhando a transição entre os estados de $M$ $P$ $M$
Marque o estado inicial de . $P$
A partir do estado inicial, inicie uma pesquisa pela primeira vez ao longo de cada borda de saída, marcando cada nó não marcado.
Quando a pesquisa terminar, se houver algum nó não marcado que corresponda a , aceite ; caso contrário, rejeite . $q$

Em seguida, crie TM = "Na entrada $$ $S$

Crie o TM como mostrado acima. $R$
Execute em . $q$ $R$
Se retornar aceitar, aceite ; se rejeitar, rejeite " $R$ $R$

Portanto, se é um decisor para então é um decisor para (o problema de aceitação). Como é comprovadamente indecidível (consulte o Teorema da Computação da Teoria da Computação 4.11 na página 174), chegamos a uma contradição. Portanto, a hipótese original está incorreta e é indecidível. $R$ $\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$ $S$ $A_{\mathrm{TM}}$ $A_{\mathrm{TM}}$ $\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

— BrotherJack
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Qual é o significado de transformar uma TM em um PDA com uma pilha relaxada?

— Ran G.

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É o decisivo assumido a existir? se assim for - você não precisa descrever sua ação. Na verdade, você não pode descrever sua ação, pois ela realmente não existe. Tudo o que você sabe que ele responde sim / não de acordo com se ou não a entrada é em .

R

$R$

L

$L$

— Ran G.