Intuição atrás do portão Hadamard

Estou tentando me ensinar sobre computação quântica e tenho uma compreensão decente da álgebra linear.

Passei pelo portão NÃO, o que não era muito ruim, mas depois cheguei ao portão Hadamard. E eu fiquei preso. Principalmente porque, embora eu "entenda" as manipulações, não entendo o que elas realmente fazem ou por que você gostaria de fazê-las, se isso faz sentido.

Por exemplo, quando o portão Hadamard recebe ele fornece . O que isto significa? Para o portão NOT, ele recebe e fornece . Nada está claro sobre isso; fornece o "oposto" do bit (para a superposição, recebe e fornece ) e eu entendo por que isso é útil; pelas mesmas razões (basicamente) que são úteis em um computador clássico. Mas o que (por exemplo) o portão Hadamard está fazendo geometricamente para um vetor ? E por que isso é útil?$|0\rangle$$\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$$|0\rangle$$|1\rangle$$\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$$\beta|0\rangle + \alpha|1\rangle$$\begin{bmatrix}\alpha \\ \beta \end{bmatrix}$

O portão Hadamard pode ser seu primeiro encontro com a criação de superposições . Quando você diz que pode relacionar a utilidade do portão Pauli (aka ) com seu equivalente clássico - bem, Hadamard é exatamente onde você deixa o domínio do analógico clássico. É útil exatamente pelo mesmo motivo, no entanto, a saber, que é freqüentemente usado para formar um conjunto universal de portas (como clássico com e fan-out, ou apenas com fan-out).$X$NOTANDNOTNOR

Enquanto um único portão é um pouco diretamente útil na geração de números aleatórios (como disse Yuval Filmus), seu verdadeiro poder aparece quando aparece em mais casos ou em combinação com outros portões. Quando você tem qubits inicializados em , por exemplo, e aplica um a cada um deles em qualquer ordem, o que obtém é que podem ser expandidos para Voilà, agora podemos avaliar funções em$H$$n$$|0\rangle$$H$

$$(|0\rangle + |1\rangle) \otimes (|0\rangle + |1\rangle) \otimes \ldots \otimes (|0\rangle + |1\rangle) / 2^{n/2}$$ $$1/2^{n/2} \cdot (|00\ldots00\rangle + |00\ldots01\rangle + |00\ldots11\rangle + \ldots + |11\ldots11\rangle)$$ $2^n$entradas diferentes em paralelo! Este é, por exemplo, o primeiro passo no algoritmo de Grover .

Outro uso popular é um Hadamard em um qubit seguido de um CNOTcontrolado com o qubit que você acabou de colocar em superposição. Consulte: Esse é um estado de Bell que é a base de vários protocolos de distribuição de chaves quânticas , computação baseada em medições , teletransporte quântico e muitas outras aplicações . Você também pode usar repetidamente em mais qubits de destino inicializados com zero (com o mesmo controle) para criar conhecido como GHZ Estado

$$CNOT \big(2^{-1/2}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes|0\rangle \big) = 2^{-1/2} CNOT(|00\rangle + |10\rangle) = 2^{-1/2} (|00\rangle + |11\rangle)$$ CNOT $$2^{-1/2} (|00\ldots00\rangle + |11\ldots11\rangle)$$ , também imensamente útil.

Por último, mas não menos importante, é uma transformação de base bastante útil que é auto-reversível. Portanto, outro portão Hadamard desfaz, em certo sentido, o que um aplicativo anterior fez ( ). Você pode experimentar o que acontece se usá-lo para "sanduíche" outras operações, por exemplo, colocar um no qubit alvo de um portão e outro depois dele. Ou em ambos os qubits (para um total de 4 Hadamards). Experimente você mesmo e certamente aprenderá muito sobre computação quântica!$H^2 = I$CNOT

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Re "o que o portão Hadamard está fazendo geometricamente para um vetor": leia a esfera de Bloch , você ouvirá sobre isso em todos os lugares. Nesta representação, um portão Hadamard faz uma rotação de 180 ° em torno de um certo eixo inclinado. Os portões de Pauli ( NOTsendo um em cada três) também fazem rotações de 180 °, mas apenas cerca de ou ou . Como essas operações geométricas são bastante restritas, esses portões por si só não podem realmente fazer muito. (De fato, se você se restringir a esses e um$x$$y$$z$CNOTno seu computador quântico, você acabou de construir um dispositivo clássico muito caro e ineficaz.) Girar sobre algo inclinado é importante, e mais um ingrediente que você normalmente precisa também é girar em uma fração menor do ângulo, como 45 ° (como na Fase portão de mudança ).

O portão Hadamard opera em um único qubit. O estado de um único qubit pode ser descrito como , em que . Se você medir o qubit, a saída será com probabilidade e com probabilidade . De uma perspectiva algébrica-linear, o estado de um qubit é apenas um vetor de norma unitária de comprimento dois sobre os números complexos. Os dois vetores abrangem um espaço vetorial de dimensão dois (acima dos números complexos), e todo vetor de norma de unidade nesse espaço vetorial pode ser o estado de um qubit .$\alpha \left|0\right\rangle + \beta \left|1\right\rangle$$|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$$0$$|\alpha|^2$$1$$|\beta|^2$$\left|0\right\rangle,\left|1\right\rangle$

Como o estado sempre possui norma de unidade, os únicos operadores lineares possíveis em qubits são aqueles que preservam normas. Da álgebra linear, sabemos que esses são exatamente os operadores hermitianos. Para descrever um operador, basta descrever seu efeito com base. Por exemplo, o valor do seu operador no vetor é .$\left| 0 \right\rangle$$\frac{\left| 0 \right\rangle + \left| 1 \right\rangle}{\sqrt{2}}$

Segundo a Wikipedia , o portão Hadamard é usado para formar uma "entrada aleatória". Se aplicado a um qubit constante (ou seja, , ou uma rotação destes por um número complexo de normas unitárias), o portão Hadamard forma um qubit "uniformemente aleatório" , que quando medido se comporta como um lance de moeda justo. Esse é o tipo de comportamento que queremos quando "tentamos todas as possibilidades em paralelo".$\left| 0 \right\rangle$$\left| 1 \right\rangle$

Eu sugiro que você continue sua leitura sobre computação quântica; quando você chegar a algoritmos quânticos (como os de Grover e Shor), entenderá para que todos esses portões quânticos são úteis.