O truque usado na prova da complexidade duplamente exponencial da aritmética de Presburger

Publiquei isso no MathUnderflow, mas não obtive respostas, então pensei em experimentar aqui,

Estou lendo o antigo artigo de Rabin e Fischer [publicará um link quando possível] onde, entre outras coisas, é comprovada a complexidade duplamente exponencial da aritmética de Presburger.

A prova se baseia na existência de uma fórmula $I_{n}(x)$ afirmando informalmente " $x < 2^{2^{kx+1}}$ " com $|I_{n}| \in O(n)$ . Embora a construção dessa fórmula não seja apresentada no artigo, o que foi uma surpresa para mim, considerando que ela é presumivelmente altamente não trivial, dado esse limite e o fato de termos apenas uma adição à nossa disposição! ¹

Mais tarde, soube que a construção dessa fórmula se baseia em um "truque", descoberto anteriormente por Fischer e de forma independente por Volker Strassen, mas não consegui rastrear um artigo descrevendo esse truque em detalhes!

Então, se alguém souber sobre o artigo de que estou falando e puder me apontar em sua direção ou até descrever o truque para mim ...

Esta postagem do blog de Lipton contém um link para o artigo, além de mencionar [e fornece um esboço aproximado, infelizmente insuficiente para mim, de] o referido truque, BTW.

¹ Eu sei que essa é uma descrição vaga. No entanto, uma descrição suficientemente detalhada seria muito longa para uma postagem do SX, então espero que alguém que já conheça o artigo em questão - e, portanto, possa se contentar com esse breve esboço - esbarre nisto e possa me ajudar .

O comentário de Martin (e o acompanhamento de Yuval) fornece a referência que explica a construção com mais detalhes.

$2^{2^{c\cdot n}}$$M_n(x,y,z)$

$$M_n(x,y,z) \Leftrightarrow x\times y=z\ \wedge x< 2^{2^n}$$

$M_n$$n$

$M_{n+1}(x,y,z)$

$$M_{n}(x_1,y_1,z_1)\wedge M_{n}(x_2,y_2,z_2)\wedge M_{n}(x_3,y_3,z_3)$$

$$\forall u v w,(u=x_1\wedge v=y_1\wedge w=z_1)\vee(u=x_2\wedge v=y_2\wedge w=z_2)\vee(u=x_3\wedge v=y_3\wedge w=z_3)\Rightarrow M_n(u,v,w)$$

$n$

Há alguns outros truques envolvidos, mas esse é o principal. As partes internas da recursão são importantes, é claro, mas a semelhança com o truque de Karatsuba é realmente impressionante.