Como eu mostro que se um PDA aceita alguma string é indecidível?

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Como mostro que o problema de decidir se um PDA aceita alguma sequência do formato é indecidível? $\{ w!w \mid w \in \{ 0, 1 \}^*\}$

Tentei reduzir esse problema a outro indecidível, como se duas gramáticas livres de contexto aceitam o mesmo idioma. No entanto, não tenho certeza de como usá-lo como uma sub-rotina.

— David Faux
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Aqui está minha abordagem: mostrarei que, se você puder decidir seu problema, poderá decidir o problema de correspondência de Post (PCP), que é conhecido por não ser decidível.

Lembre-se, PCP é um problema de decisão que pergunta se em um conjunto de $2$ -tuplos $P=\{(x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)\}$ você pode construir uma sequência (incluindo repetição) de forma que a concatenada $x_i$ se concatenados $y_i$ s desta sequência formam a mesma palavra. Observe que o alfabeto precisa ter pelo menos 2 caracteres.

Então deixe $P$ ser uma instância do PCP. Considere a seguinte gramática livre de contexto, onde introduzimos um novo símbolo de terminal $t_i$ para o $i$ -ésimo elemento em $P$ . A gramática tem as seguintes regras:

\begin{aligned} S & \to X! Y \\ X & \to x_{1} X^{'} t_{1} ∣ x_{2} X^{'} t_{2} ∣ \dots x_{n} X^{'} t_{n} \\ X^{'} & \to x_{1} X^{'} t_{1} ∣ x_{2} X^{'} t_{2} ∣ \dots x_{n} X^{'} t_{n} ∣ ε \\ Y & \to y_{1} Y t_{1} ∣ y_{2} Y t_{2} ∣ \dots y_{n} Y t_{n} ∣ ε \end{aligned}

$\begin{align} S& \to X \; ! \;Y \\ X& \to x_1 X' t_1 \mid x_2 X' t_2 \mid \cdots x_n X' t_n \\ X'& \to x_1 X' t_1 \mid x_2 X' t_2 \mid \cdots x_n X' t_n \mid \varepsilon\\ Y& \to y_1 Y t_1 \mid y_2 Y t_2 \mid \cdots y_n Y t_n \mid \varepsilon \\ \end{align}$ (A variável

X^{'}

$X'$ está lá apenas para descartar

S \Rightarrow!

$S\Rightarrow !$ )

Obviamente, dada qualquer gramática, podemos encontrar um PDA correspondente que aceite o mesmo idioma da gramática. Portanto, construa o PDA correspondente e use o algoritmo hipotético do seu problema para determinar se esse PDA aceita qualquer palavra da forma $u!v$ (ou seja, se alguém pode derivar qualquer palavra da forma $u!v$ desta gramática). Vou mostrar como usar essas informações para resolver a instância do PCP $P$ .

Suponha agora que $u!v$ é uma palavra nesta gramática. A palavra $u$ possui duas partes, o sufixo, consistindo no $t_i$ terminais eo restante chamado prefixo. O mesmo vale para $v$ . Nós temos $u=v$ se e somente se seus prefixos e sufixos coincidirem. Os sufixos coincidem apenas se tivermos usado a mesma sequência de tuplas de $P$ para construir as palavras $u$ e $v$ . Os prefixos de $u$ e $v$ coincidir se a concatenação do $x_i$ areia $y_i$ s (com base na sequência de tupla invertida fornecida pelo $t_i$ s) é o mesmo. Conseqüentemente $u=v$ se e somente se houver uma solução para a instância PCP $P$ .

Da mesma forma, se houver uma solução para a instância PCP $P$ , então, a partir da solução, é fácil construir uma palavra da forma $u!v$ que é derivável dessa gramática.

Daqui resulta que a instância PCP $P$ tem uma solução se e somente se esta gramática contiver uma palavra no formato $u!v$ . Se houvesse um algoritmo para decidir seu problema, poderíamos usá-lo para resolver o PCP. Mas é claro que o PCP é indecidível, então seu problema também é indecidível.

— A.Schulz
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Agradável! Bem, definitivamente mais direto do que minha própria solução. 1

— Hendrik Jan

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Acho difícil acompanhar o fluxo desta resposta. Por que você argumenta sobre a existência de PDA / gramática no terceiro parágrafo? Se eu leio corretamente, você deseja mapear instâncias do PCP para gramáticas, reduzindo assim a questão de saber se o PCP é decidível. Para esse fim, você também deve mostrar o verso do último parágrafo, ou seja, se não houver

u! u

$u!u$ for aceito, o PCP não tem solução. (Bom truque com o

t_{i}

$t_i$ , a propósito.)

— Raphael

@ Rafael, eu editei a resposta para abordar o seu comentário. Bons pontos - obrigado!

— DW

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A abordagem pode ser a seguinte. Tente criar uma linguagem sem contexto (= PDA) que codifique as etapas de computação de uma TM, para que a computação completa seja bem-sucedida se houver uma palavra do formulário que você descreve.

Primeiro, você precisa codificar configurações separadas: conteúdo da fita + estado + cabeçalho da posição (você verá isso para equivalência gramatical). Uma linguagem livre de contexto pode codificar uma única etapa $C\vdash C'$ de uma computação, desde que você use imagem espelhada $C\#m(C')$ , Onde $m(C)$ denota a imagem espelhada (reversão) de $$ C $. (Sou desleixado aqui: talvez seja necessário distinguir a configuração e sua descrição.)

Agora considere o idioma das etapas separadas, concatenadas com o idioma das configurações duplicadas: $C_0\#C_1\#m(C_2)\#C_3\#m(C_4)\# \dots C_{2n-1}\#m(C_{2n})\#C_f!$ $C'_1\#m(C'_1)\#C'_2\#m(C'_2)\#\dots C'_{n+1}\#m(C'_{n+1})$ com para cada $k$ , $C_{2k-1} \vdash (C_{2k})$ . Isso é livre de contexto, além de código $C_0$ como inicial e $C_f$ como configurações finais.

Agora, a primeira parte garante que temos etapas consecutivas, a segunda parte de que configurações sucessivas são iguais. Se ambas as partes corresponderem, temos um cálculo. O que não podemos decidir.

Essa é a ideia. Posso ter alguns índices incorretos, e toda a sequência deve ser codificada em binário, mas isso pode ser resolvido.

— Hendrik Jan
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OK eu entendi. No entanto, a parte "Agora considere o idioma de etapas separadas, concatenadas com o idioma de configurações duplicadas ..." pode se beneficiar de mais explicações. Por exemplo, você pode usar os índices corretos. Enfim, é uma boa ideia.

— A.Schulz