Por que A implica B verdadeiro se A é falso e B é falso?

Parece-me que o "implica" no idioma inglês não significa a mesma coisa que o operador lógico "implica", de maneira semelhante como a palavra "OR" na maioria dos casos significa "OR exclusivo" em nosso uso cotidiano da linguagem.

Vamos dar dois exemplos:

Se hoje é segunda-feira, amanhã é terça-feira.

Isso é verdade .

Mas se dissermos:

Se o sol é verde, então a grama é verde.

Isso também é considerado verdade. Por quê? Qual é a 'lógica' em inglês natural por trás disso? Isso me deixa louco.

Os seres humanos são ruins em lógica até que tenham que empregá-la para descobrir os assuntos humanos. Pense em " se então$A$$B$ " como uma espécie de promessa: "Eu prometo a você que se você fizer , eu farei ". Promessa de tal não diz nada sobre o que eu poderia fazer se você não conseguir fazer . Na verdade, eu poderia fazer qualquer maneira, e isso não me faria um mentiroso.B A $A$$B$$A$$B$

Por exemplo, suponha que sua mãe lhe diga:

Se você limpar seu quarto, farei panquecas.

E digamos que você não limpou o quarto, mas quando entrou na cozinha sua mãe estava fazendo panquecas. Pergunte a si mesmo se isso faz de sua mãe uma mentirosa. Isso não! Ela seria uma mentirosa apenas se você limpasse o quarto, mas ela se recusasse a fazer panquecas. Pode haver outras razões pelas quais ela decidiu fazer panquecas (talvez sua irmã tenha limpado o quarto). Sua mãe não lhe disse: "Se você não limpar o quarto, não vou fazer panquecas", ela disse?

Então, se eu disser

"Se o sol é verde, então a grama é verde."

isso não me faz mentirosa. O sol não é verde (você não limpou a sala), mas a grama ficou verde de qualquer maneira (mas sua mãe fez panquecas de qualquer maneira).

É uma convenção - podemos usar outra, mas essa é conveniente. Aqui está o que Terence Tao diz :

Isso é discutido no apêndice A.2 do meu livro [Análise 1]. A noção de implicação usada na matemática é a implicação material, que em particular atribui um valor verdadeiro a qualquer implicação vazia. Pode-se, é claro, usar uma convenção diferente para a noção de implicação, no entanto, a implicação material é muito útil para o objetivo de provar teoremas matemáticos, pois permite usar implicações como "se A, então B" sem precisar verificar primeiro se A é verdadeiro ou não. A implicação material também obedece a várias propriedades úteis, como a especialização: se, por exemplo, se sabe para cada x que P (x) implica Q (x), então pode-se especializá-lo com um valor específico dex ≥ 5 x 2 ≥ 25 x 3 ≥ 5 3 2 ≥ $x$, diga 3 e conclua que P (3) implica Q (3). Observe que, ao fazer isso, uma implicação não-vazia pode se tornar uma implicação vazia. Por exemplo, sabemos que implica para qualquer número real ; especializando isso no número real 3, obtemos a implicação vazia de que implica .$x \geq 5$$x^2 \geq 25$$x$$3 \geq 5$$3^2 \geq 25$

A maneira como gosto de pensar nas implicações materiais é a seguinte: a afirmação de que A implica B está apenas dizendo que "B é pelo menos tão verdadeiro quanto A". Em particular, se A é verdadeiro, então B também deve ser verdadeiro; mas se A for falso, a implicação material permite que B seja verdadeiro ou falso, e, portanto, a implicação é verdadeira, não importa qual seja o valor de verdade de B.

"A implica B" significa (abreviado) "se A é verdadeiro, então B é verdadeiro".

Significa (um pouco mais) "se A é verdadeiro, então afirmo que B é verdadeiro; se A é falso, não faço qualquer afirmação sobre B".

Agora pegue "Se o sol é verde, então a grama é verde".

Na forma longa, é traduzido para "Se o sol é verde, afirmo que a grama é verde; se o sol não é verde, não reivindico a cor da grama". Como o sol não é verde, não reivindico a cor da grama.

Vamos dar um exemplo. Suponha que queremos expressar que é o único elemento do conjunto que satisfaz propriedade . Então podemos escrever que qualquer elemento de que satisfaça deve ser igual a . Ele não reivindica nada sobre elementos que não correspondam . Se não satisfaz e é diferente de então é falso é falso e, portanto, é verdadeiro, como no seu exemplo.S P ∀ x ∈ $a$$S$$P$x P a P b P a P ( b ) b = a P ( b ) ⇒ b =

É importante notar que muitas formas de lógica não têm conceito de cronologia ou causalidade. Se algo é verdade, então - dentro de seu contexto - foi e continuará sendo verdadeiro para sempre. Dizer que X implica Y não significa, em nenhum sentido, que X fará com que Y seja verdadeiro. Significa apenas que X não pode ser verdadeiro sem que Y também seja verdadeiro, e Y não pode ser falso sem que X também seja falso.

Descrever utilmente as relações causais no mundo real requer algo além dos construtos usados ​​na lógica "atemporal". Um conceito como "Para qualquer ação Y tal que X faça com que Y seja razoável, Y será considerado razoável" pode ser útil em um universo causal, mesmo que X possa ser falso, mas o operador de implicação explode completamente nesses casos. Se alguém dissesse "X implica que Y será considerado razoável" e se constatou que X nunca foi verdadeiro, isso implicaria que todas as ações seriam consideradas razoáveis.

Não sei ao certo quais formas de lógica incluem as construções necessárias para permitir declarações que envolvem causalidade unidirecional, mas reconhecendo que a definição lógica de "implica" não reconhece os conceitos de tempo e causalidade, tornando mais fácil entender por que eles se comportam. de maneira contra-intuitiva.

Ao usar o Implication In English, não se trata das coisas ou objetos que consideramos.

$sun$$green$$grass$$green$

O sol é apenas um objeto aqui, não faça apegos emocionais a ele, que o sol não pode ser verde.

$S$$G$$GG$

$->$

Isso parece menos confuso do que quando se escreve em inglês.

Para colocar sua cabeça no lugar certo para a minha resposta, quero mencionar o que gosto de chamar de teorema dos macacos voadores ou o que a Wikipedia gosta de chamar de princípio da explosão , que afirma:

$2+2=4$ $2+2=5$$4=5$$0=1$$16=25$$1=0$$1=-1$abusando de uma divisão oculta por zero , porque você não pode dividir por zero para poder fazer o que quiser.

$p$$F \rightarrow T$$F \rightarrow F$