Função que espalha entrada

Gostaria de saber se existe uma função de números de n bits para números de n bits que possui as seguintes características:$f$

• $f$ deve ser bijetivo
• Ambos e deve ser calculável rápido bastantef - $f$$f^{-1}$
• $f$ deve retornar um número que não tem correlação significativa com sua entrada.

A lógica é esta:

Eu quero escrever um programa que opera com dados. Algumas informações dos dados são armazenadas em uma árvore de pesquisa binária em que a chave de pesquisa é um símbolo de um alfabeto. Com o tempo, adiciono mais símbolos ao alfabeto. Novos símbolos simplesmente obtêm o próximo número gratuito disponível. Portanto, a árvore sempre terá um pequeno viés para chaves menores, o que causa mais reequilíbrio do que eu acho que deveria ser necessário.

Minha idéia é alterar os números dos símbolos com $f$ modo que eles estejam amplamente espalhados por todo o intervalo de . Como os números dos símbolos são importantes apenas durante a entrada e a saída, o que ocorre apenas uma vez, a aplicação dessa função não deve ser muito cara.$[0,2^{64}-1]$

Pensei em uma iteração do gerador de números aleatórios Xorshift, mas realmente não sei como desfazê-lo, embora teoricamente seja possível.

Alguém conhece essa função?
isso é uma boa ideia?

Você pode usar o hash Fibonacci ,

.$\qquad h_F(k) = k \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - \left\lfloor k \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \right\rfloor$

Para , você obtém n números distintos por pares (aproximadamente) espalhados igualmente em [ 0 , 1 ] . Ao escalar para [ 1 .. M ] e arredondar (para baixo), você obtém números uniformemente distribuídos nesse intervalo.$k=1,\dots,n$$n$$[0,1]$$[1..M]$

Por exemplo, estes são redimensionados para [ 0..10000 ] (sequência original esquerda, classificação à direita):$h_F(1), \dots, h_F(200)$$[0..10000]$

Esta é uma instância do que Knuth chama de hash multiplicativo . Para o tamanho das palavras do computador, A um número inteiro relativamente primo w e M o número de endereços necessários, usamos$w$$A$$w$$M$

$\qquad h(k) = \left\lfloor M \left( \bigl( k \cdot \frac{A}{w}\bigr) \mod 1 \right) \right\rfloor$

como função de hash. O exemplo acima é apresentado com (certifique-se de poder computá-lo com precisão suficiente). Embora isso também funcione com qualquer outro número irracional além de , é um dos dois únicos números que leva aos números "mais uniformemente distribuídos". ϕ-$A/w = \phi^{-1} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$$\phi^{-1}$

Encontre mais em The Art of Computer Programming , Volume 3, de Donald Knuth (capítulo 6.4 da página 513 na segunda edição). Em particular, você descobrirá por que os números resultantes são distintos entre pares (pelo menos se ) e como calcular a função inversa se você usar e naturais em vez de .A w ϕ - $n \ll M$$A$$w$$\phi^{-1}$

Para entradas de bits, esta função funciona:$k$

$\mathrm{hash}(n) = (n \bmod 2^{\lceil\frac{k}{2}\rceil})\cdot 2^{\lceil\frac{k}{2}\rceil} + n \,\mathrm{div}\, 2^{\lceil\frac{k}{2}\rceil}$

Isso é reversível, pois e possui pares não sequenciais , em que . Cuidado que saída e entrada podem estar correlacionadas, especialmente se sua entrada estiver em .{ n , m } , n < m h a s h ( m ) < h a s h ( n ) { 1 , … , 2 ⌈ $\mathrm{hash}(\mathrm{hash}(n)) = n$$\{n,m\}, n < m$$\mathrm{hash}(m) < \mathrm{hash}(n)$$\{1,\dots,2^{\lceil\frac{k}{2}\rceil}-1\}$

Ref: Função hash reversível