O que é uma "contradição" na lógica construtiva?

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Em Fundamentos Práticos para Linguagens de Programação , Robert Harper diz

Se uma proposição para ser verdadeira significa ter uma prova dela, o que significa que uma proposição seja falsa? Isso significa que a refutamos , mostrando que não pode ser provado. Ou seja, uma proposição é falsa se pudermos mostrar que a suposição de que ela é verdadeira (tem uma prova) contradiz fatos conhecidos.

Mas, então, isso levanta a questão - o que é uma contradição na lógica construtiva / intuicionista?

Isso significa no sentido de derivar alguma forma? Como isso aconteceria de maneira sensata? Será que um acórdão do formulário devam ser introduzidas? $(\bot\text{ true})$ $(A \supset \bot \text{ true})$

Como alternativa, talvez isso signifique, no sentido de o leitor usar sua discrição, para rotular informalmente algo de contraditório? Por exemplo, a interpretação e como estando em conflito proposições. $a = b$ $a \neq b$

logic

— afsmi
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É irrelevante falarmos de lógica construtiva ou clássica nessa situação. Se você ler suas perguntas novamente, verá que elas se aplicam aos dois tipos. A única diferença que precisamos tomar conhecimento de é a apresentação de negação . Ele pode ser apresentado de várias maneiras classicamente, mas intuicionisticamente é melhor usá-lo como uma abreviação de (que é exatamente o que Bob Harper está sugerindo no parágrafo citado). Mas não confundamos negações e contradições. $\lnot A$ $A \Rightarrow \bot$

Nos dois casos, uma contradição é uma situação em que conseguimos provar a falsidade $\bot$ . Como poderíamos derivar maneira sensata? Bem, a partir de um conjunto inconsistente de hipóteses, essa seria uma maneira sensata de fazê-lo. $\bot$

Você não tem o poder de "declarar" uma contradição. Você deve provar que um determinado conjunto de hipóteses é contraditório ao derivar . Por exemplo, se e , então podemos utilizar o facto de que é uma abreviatura para e concluir por ponente modus. $\bot$ $a = b$ $\lnot (a = b)$ $\lnot (a = b)$ $(a = b) \Rightarrow \bot$ $\bot$

— Andrej Bauer
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Eu li novamente e agora parece melhor. :-) Eu acho que fiquei preso na minha cabeça que você digitou "em voz alta" para que eu não conseguisse encontrar mais nada.

— David Richerby

Agora, é uma ótima idéia, ler em voz alta perguntas de troca de pilhas!

— Andrej Bauer

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$A \land \lnot A$ $\lnot A$ $A \Rightarrow \bot$ $\bot$ $A \land \lnot A$ $\bot$ $\lnot$

$\bot$

$\bot$ $A$ $A \Rightarrow \bot$ $A$ $\lnot A \Rightarrow \bot$ $\lnot \lnot A$ $\lnot \lnot (\lnot \lnot A \lor \lnot A)$ $\lnot \lnot \lnot A \Rightarrow \lnot A$

— Derek Elkins deixou o SE
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