Um subconjunto de um problema NP-completo pode estar em P?

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O problema é NP-completo (comprovado) para todos os dados de entrada (sem exceção).

Assumimos que P! = NP.

É possível que exista um subconjunto (infinitamente grande) do problema, para o qual esse subconjunto esteja em P?

Questão teórica.

— Aurelio
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Não existe "NP-complete para todos os dados de entrada". Se a entrada for fixa, também será o tempo de execução.

— John Dvorak

A entrada não possui tamanho fixo. A entrada cresce linearmente e o tempo de execução aumenta exponencialmente (NP-completo desse problema X é comprovado).

— Aurelio

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Não poste a mesma pergunta em vários sites do Stack Exchange. É contra a política do site, porque fragmenta as respostas e desperdiça o tempo que as pessoas passam respondendo perguntas que foram respondidas em outros lugares.

— David Richerby

Se eu tiver minhas noções corretas no exemplo a seguir e estiver interpretando corretamente a intenção de sua pergunta, considere SATISFIABILITY vs. 2-SAT. O primeiro está em NP-Complete, enquanto o último está em P. Você pode estender isso até NP-Hardness: encontrar uma solução de suporte mínimo para

A x = b

$Ax=b$ é NP-Hard em geral, mas é feito rapidamente se você restringir

A

$A$ ser um elemento do conjunto de matrizes invertíveis (a solução de peso mínimo seria a solução exclusiva).

— Thomas Rasberry

Eu acho que a principal ideia aqui, sobre por que a pergunta não faz sentido, não é um limite de tamanho de entrada, mas sim o fato de a NP-completitude afirmar que, para todas as entradas do problema serem reduzidas , existe uma redução no seu problema (com uma entrada correspondente). Não é algo quantificado universalmente sobre a contribuição do problema que está sendo reduzida.

— b0fh

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Sua pergunta não faz sentido:

O problema é NP-completo (comprovado) para todos os dados de entrada (sem exceção).

Isso não é uma coisa. NP-completeness é uma propriedade de conjuntos inteiros, não de entradas específicas. É bastante trivial mostrar que, se você escolher uma entrada específica, qualquer problema será $O(1)$ nessa entrada: você apenas envia sim ou não, dependendo do que for correto para sua entrada. Quando você faz isso, todas as análises de algoritmos são interrompidas e tudo acaba sendo inútil. Então, nós não fazemos isso.

$P$ , $NP$ , $NP$ - complexidade , tempo polinomial etc. estão todos relacionados à complexidade assintótica : à medida que o tamanho da entrada aumenta, como o tempo de execução cresce? Isso só faz sentido quando você olha através de entradas diferentes, da mesma forma que a derivada de um ponto no cálculo é uma propriedade que leva em consideração a curva ao redor do ponto.

Assumimos que P! = NP.

Novamente, isso não afeta sua resposta. E se $P = NP$ , então todo $P$ conjunto é $NP$ -complete, ^* para que haja vários subconjuntos em $P$ . E se $P=NP$ , os exemplos que as pessoas deram são todos válidos.

É possível que exista um subconjunto do problema (infinitamente grande), que esse problema esteja em P?

Sim, e as outras respostas deram ótimos exemplos disso. Mas para a posteridade, aqui está outro exemplo de contra-exemplo.

$k$ -coloring is $NP$ -complete se você tomar $k$ como entrada, mas $2$ -coloring é um subconjunto infinito disso que está em $P$ .

^{* Exceto por $\emptyset$ e $\Sigma^*$ , que não são $NP$ - completo por razões técnicas relacionadas à forma de reduções que usamos para definir a integridade.}

— jmite
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Obrigado @DavidRicherby pelo esclarecimento sobre

\emptyset

$\emptyset$ e

Σ^{*}

$\Sigma^*$

— jmite

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Na verdade, você não precisa do P $\,\neq\,$ Hipótese NP , uma vez que existem infinitos subconjuntos decidíveis em tempo constante de problemas completos de NP . Para qualquer idioma completo do NP $L\subseteq\{0,1\}^*$ , deixei $L' = \{0w\mid w\in L\}\cup\{1w\mid w\in\{0,1\}^*\}$ . $L'$ ainda está completo com NP (redução trivial de $L$ ), mas contém o subconjunto infinito decidível em tempo constante de todas as cadeias que começam com $1$ .

— David Richerby
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Pelo que entendi sua pergunta, sim, isso é possível. Como exemplo, considere o subconjunto (infinitamente grande) de SAT que contém todas as fórmulas satisfatórias sem negações. Esse subconjunto está trivialmente em P.

— Pontus
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Incompreendido. SAT é apenas um exemplo. Eu escrevi que para todos os casos é NP-completo. A classe SAT P é se ela atende às condições do teorema da dicotomia de Schaefer ( en.wikipedia.org/wiki/Schaefer%27s_dichotomy_theorem ). Há uma condição mencionada por você. Mas e se acontecer que existe um subconjunto da classe P e não pertence (esse subconjunto) ao teorema da dicotomia de Schaefer?

— 21417 Aurelio

Agora não tenho ideia do que você está perguntando. Acho que você precisa editar e esclarecer sua pergunta original.

— Pontus

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@Aurelio A classe de fórmulas sem negação é exatamente o que você pediu: um subproblema infinito e decidível em tempo polinomial de um problema de NP-completo. Se você estava procurando outra coisa, precisa editar sua pergunta.

— David Richerby

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Veja o exemplo de $\mathsf{3\text{-}Coloring}$ problema, é $\mathsf{NP\text{-}Complete}$ em geral, mas para as árvores (são infinitas), está em $\mathsf{P\text{}}$

— Shiv
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Coloração de gráfico, clique máximo e conjunto máximo independente são $\mathcal{NP}$ -complete (versões de decisão), mas polinomial em gráficos perfeitos.

— Eugene
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Considere o problema do Vendedor ambulante: Dadas são n cidades e as distâncias entre cada par de cidades e um limite d. Existe uma rota tocando cada cidade uma vez e depois retornando ao ponto de partida com um comprimento total ≤ d?

Para qualquer conjunto de cidades e distâncias, para valores pequenos de d ("pequeno", dependendo das distâncias), será fácil mostrar que não há solução e, para valores grandes de d, é fácil encontrar uma solução. Portanto, você pode encontrar um subconjunto do problema em que d é grande ou pequeno o suficiente para resolver qualquer instância em tempo polinomial.

— gnasher729
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