Exemplo de conjuntos indutivos que não são o menor nem o maior ponto fixo

Existe um conjunto de regras indutivas e um ponto fixo dessas regras, mas não é o menor nem o maior ponto fixo?

logic inductive-datatypes

— thbl2012
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Aqui está um exemplo não trivial:

Suponha que desejamos definir indutivamente um subconjunto de reais, para trabalharmos na estrutura completa ordenada pela inclusão. $\mathcal{P}(\mathbb{R})$

Em seguida, considere as regras Isso induz a função (monotônica, contínua por Scott) fornecida por

\frac{}{0} \frac{x}{x + 1}

$\dfrac{\qquad}{0} \qquad \dfrac{x}{x+1}$

f : P (R) \to P (R)

$f : \mathcal{P}(\mathbb{R}) \to \mathcal{P}(\mathbb{R})$

f (X) = {0} \cup {x + 1 | x \in X}

$f(X) = \{0\} \cup \{ x+1 \ |\ x\in X\}$

Todos os seguintes são pontos fixos de : $f$

$\mathbb{N}$ (mínimo)
$\mathbb{Z}$
$\{x/2 \ |\ x\in \mathbb{Z}\}$
$\{x/3 \ |\ x\in \mathbb{Z}\}$
etc.
para qualquer natural , o conjunto $k \geq 1$ $\{x/k \ |\ x\in \mathbb{Z} \}$
$\mathbb{Q}$
$\mathbb{R}$ (melhor)

Se queremos que nossa definição seja bem formada, além de especificar as regras, precisamos destacar um dos pontos fixos. Isso geralmente é feito com o mínimo (indução) ou o maior (coindução).

— chi
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Um nit menor, mas sem especificar menos / maior ou alguma outra propriedade para selecionar exclusivamente o subconjunto apropriado, isso não define indutivamente um subconjunto dos reais.

— Derek Elkins saiu de SE

@DerekElkins concordou. Eu adicionei uma nota sobre isso.

— chi

@DerekElkins A resposta não afirma que define nada. Diz supor que queremos definir algo, fornece algumas regras e diz que essas regras têm um monte de pontos fixos.

— David Richerby

@DavidRicherby De fato, essa era minha intenção. Ainda assim, percebo que é possível ler um pouco além do que escrevi, então acrescentei uma nota final de qualquer maneira.

— chi

@ thbl2012 O maior ponto fixo é muito sensível à escolha da estrutura completa em que você trabalha. Aqui, comecei com como o elemento principal da minha rede, mas eu poderia ter escolhido, por exemplo, ou . Outra escolha comum é o conjunto de aplicações simbólicas finitas ou infinitas dos construtores, onde, como você diz, o maior ponto fixo é onde aqui representa o sucessor aplicado sobre si mesmo infinitamente várias vezes. Portanto, seu professor está completamente correto, ele simplesmente escolheu outra treliça completa.

R

$\mathbb{R}$

Q

$\mathbb{Q}$

C

$\mathbb{C}$

N \cup {\infty}

$\mathbb{N} \cup \{\infty\}$

\infty

$\infty$

— 22417 chi

Qualquer conjunto é um ponto fixo do conjunto vazio de regras ou da regra trivial . $x\in X\Rightarrow x\in X$

— David Richerby
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