Existe um conceito duplo para "Turing Complete" na lógica?

Pode-se mostrar que dois modelos de computação são completos, se cada um pode codificar um simulador universal para o outro. Pode-se mostrar que duas lógicas são completas se uma codificação das regras de inferências (e talvez axiomas, se presentes) de cada uma se mostrar como teoremas da outra. Na computabilidade, isso levou a uma idéia natural da completude de Turing e da Tese da Igreja. No entanto, eu não vi onde as co-completidades lógicas levaram a qualquer idéia induzida naturalmente de completude total de qualidade semelhante.

Como Provability e Computability estão tão intimamente relacionados, acho que não é demais considerar que poderia haver um conceito na lógica que seja um dual natural da Turing Completeness. Especulativamente, algo como: existe um teorema "verdadeiro" que não é comprovável em uma lógica se e somente se houver uma função computável que não é descritível por um modelo de computação. Minha pergunta é, alguém estudou isso? Uma referência ou algumas palavras-chave seriam úteis.

Por "verdadeiro" e "computável" no parágrafo anterior, estou me referindo às idéias intuitivas, mas finalmente indefiníveis. Por exemplo, alguém poderia mostrar que a finitude das seqüências de Goodstein é "verdadeira", mas não provável na aritmética Peano, sem definir totalmente o conceito de "verdadeira". Da mesma forma, por diagonalização, pode ser mostrado que existem funções computáveis ​​que não são recursivas primitivas sem realmente definir totalmente o conceito de computável. Fiquei pensando, mesmo que eles acabem sendo conceitos empíricos, talvez os conceitos possam estar relacionados um ao outro o suficiente para relacionar os conceitos de completude.

Não sei por que você diz que "verdadeiro" é definitivamente indefinível, pois há uma definição precisa do que significa que uma fórmula de primeira ordem é verdadeira .

O que é único no caso da computabilidade é que, para qualquer definição (tão selvagem quanto seus sonhos) para um "modelo computacional", você pode finalmente associá-lo a um conjunto de funções (as funções que ele pode calcular). Portanto, é possível comparar naturalmente diferentes modelos e, ao fixar um (com base em alguma justificação empírica, como "é uma boa representação da computação no mundo real"), você pode chamar qualquer outro modelo como completo se calcular exatamente o mesmo conjunto de funções.

No entanto, como você compara diferentes lógicas? Parece que não há propriedade natural que você possa anexar a uma lógica arbitrária e usá-la para compará-la com outros sistemas. Talvez você possa consertar a lógica, por exemplo, lógica de predicados de primeira ordem e perguntar sobre a integridade de um sistema axiomático. Suponha que você trabalhe no ZFC e acredite que ele consiste nos axiomas naturais que representam o mundo. Agora, quando é fornecido um sistema axiomático diferente, você pode perguntar se eles têm a mesma teoria e chamar esse sistema completo, caso a resposta seja sim. Penso que a diferença do caso da computabilidade é que, para a computabilidade, existe um consenso mais forte sobre qual deveria ser o "modelo base". A razão para esse consenso é que muitos modelos independentes de computação mais tarde se mostraram equivalentes,