Algoritmo randomizado para 3SAT

Existe um algoritmo aleatório muito simples que, dado um 3SAT, produz uma atribuição que satisfaz pelo menos 7/8 das cláusulas (na expectativa): escolha uma atribuição aleatória. Uma atribuição aleatória satisfaz cada cláusula com probabilidade 7/8 e, portanto, a linearidade da expectativa mostra que a fração esperada de cláusulas satisfeitas por uma atribuição aleatória é 7/8.

Isso pode ser feito de maneira determinística? Se sim, por que estamos interessados ​​no algoritmo aleatório?

O algoritmo de atribuição aleatória pode ser des randomizado (tornado determinístico) usando o método das expectativas condicionais.

Deixe a instância 3SAT consistir nas cláusulas . Durante o algoritmo, atribuiremos valores a variáveis. A pontuação de uma cláusula é definida da seguinte forma:$C_1,\ldots,C_m$$C$

• Se estiver satisfeito, sua pontuação será 1.$C$
• Se não estiver satisfeito e tiver literais não atribuídos, sua pontuação será .$C$$k$$1-2^{-k}$

Inicialmente, a pontuação de cada cláusula é e, portanto, a pontuação total é . Agora, atribuímos valores às variáveis em ordem. Suponha que atribuímos valores às variáveis e a pontuação total atual é . Deixe a pontuação total se atribuirmos os valores (respectivamente) a . Eu afirmo que para qualquer cláusula e, portanto, . De fato:$1-2^{-3} = 7/8$$(7/8) m$$x_1,\ldots,x_n$$x_1,\ldots,x_{i-1}$$S = S(C_1)+\cdots+S(C_m)$$S_0,S_1$$0,1$$x_i$$S_0(C)+S_1(C) = 2S(C)$$C$$S_0 + S_1 = 2S$

• Se estiver satisfeito (apenas ) ou não contiver então .$C$$x_1,\ldots,x_{i-1}$$x_i$$S_0(C) + S_1(C) = 2S(C)$
• Suponha que contenha literais não atribuídos, incluindo . Então , e . Portanto $C$$k$$x_i$$S(C) = 1-2^{-k}$$S_0(C) = 1-2^{-(k-1)}$$S_1(C) = 1$ $$S_0(C) + S_1(C) = [1 - 2 \cdot 2^{-k}] + 1 = 2(1 - 2^{-k}) = 2S(C).$$
• Um argumento semelhante funciona quando contém . $C$$\bar{x}_i$

Como , ou (possivelmente ambos). Portanto existe alguma atribuição de tal que após a atribuição, a nova pontuação é de pelo menos .$S_0 + S_1 = 2S$$S_0 \geq S$$S_1 \geq S$$S$$S$

A pontuação inicial é o algoritmo garante que a pontuação nunca diminua. No final, a pontuação da cláusula é 1 se for satisfeita e caso contrário. Assim, a tarefa final satisfaz pelo menos cláusulas.$(7/8)m$$C$$1-2^{-0}=0$$(7/8)m$

Dado que existe um algoritmo determinístico, por que estamos interessados ​​no aleatório? Existem várias razões:

1. O algoritmo aleatório é muito mais simples.
2. O algoritmo aleatório é potencialmente mais rápido.
3. O algoritmo aleatório pode ser convertido em determinístico usando o método das expectativas condicionais; podemos pensar nisso como uma receita para construir um algoritmo determinístico.

De maneira mais geral, é conjecturado que todo algoritmo polytime aleatório para um problema de decisão possa ser des randomizado (essa é a conjectura ). Algoritmos aleatórios ainda serão interessantes por todos os motivos enumerados acima.$\mathsf{P}=\mathsf{BPP}$