O que instanciar variáveis existenciais com variável fora do escopo implica?

Tenho a seguinte prova inacabada de um lema:

Goal forall (P : Type -> Prop) (Q : Prop),
  ((forall x, (P x)) -> Q) -> (exists x, P x -> Q).
Proof.
  intros. 
  eapply ex_intro. intros. apply H. intros. eapply H0.

O problema é a última eapplyfalha, com a mensagem

Error:
In environment
P : Type -> Prop
Q : Prop
H : (forall x : Type, P x) -> Q
H0 : P ?x
x : Type
Unable to unify "?x" with "x" (cannot instantiate "?x" because "x" is not in
its scope: available 
arguments are "P" "Q" "H").

As etapas da prova já parecem muito fraudulentas. A prova constrói uma variável existencial para ficar no lugar de na segunda metade e, em seguida, tenta instanciar usando o obtido como premissa após a aplicação da hipótese . As etapas da prova parecem uma prova cíclica para mim. $x$ $x$ (forall x, (P x)) -> Q

O que em geral esta mensagem implica? Que tipos de erros lógicos essa mensagem indica aqui?

Há um problema recente no Github da Coq, na verdade, indica que instâncias instáveis fora do escopo PODEM provar falsidade, exceto pelo fato de serem bloqueadas pelo QED.

https://github.com/coq/coq/issues/8215

logic coq

— Jason Hu
fonte

Você não será capaz de provar isso construtivamente. Você pode, se você assumir algum axioma adequado da lógica clássica.

— Derek Elkins saiu de SE

@DerekElkins eu aprendi isso. mas a instanciação fora do escopo revela a razão pela qual isso não funcionará na lógica construtiva?

— Jason Hu

Eu não diria isso, embora comece a sugerir. Existem várias maneiras de não conseguir provar isso de forma construtiva e, obviamente, todas as abordagens precisam falhar para que isso não seja possível. A prova construtiva de um existencial requer a produção de uma testemunha. Nesse caso, precisamos criar um valor arbitrário de um tipo arbitrário que seja impossível e nenhuma das suposições nos fornece um valor do tipo. A lei do meio excluído, por outro lado, permite-nos extrair valores do nada.

— Derek Elkins saiu de SE

A prova padrão do LEM no cálculo sequencial clássico é de fato "uma variável que foge do seu escopo". Ainda não olhou muito de perto, mas pode ser que você tenha uma situação semelhante.

— Gallais

Você realmente quis dizer (P : Type -> Prop)? E não (A : Type) (P : A -> Prop)? Se você quis dizer o último, poderá provar a negação do seu lema .

— Anton Trunov 22/09

Quando você faz uma introdução existencial, você está dizendo que há algum termo , que é representado pela variável de unificação , de tal forma que . Em seguida, tenta aplicar a . Ele tenta generalizar , porque se puder mostrar que para uma constante nova (representada pela saída Coq), então seguirá. Ele tenta unificar essa constante nova , com a variável de unificação , mas isso não é permitido. De uma perspectiva lógica, representa um termo $t$ ?x $P(t)\to Q$ $P(t)$ $H : (\forall x.P(x)) \to Q$ P ?x $P(c)$ $c$ x $\forall x.P(x)$ x?x?x $t$ e que prazo é, por definição frescura, distinto do fresco (ie ), que é só para dizer não estava no escopo quando introduzimos , então não pode ter dependesse disso. $c$ x $c$ $t$ $t$

Como um cenário mais simples, não podemos provar usando introdução existencial com . não está no escopo nesse ponto. $\exists x.\forall y.x = y$ $y$ $y$

— Derek Elkins deixou o SE
fonte

O que instanciar variáveis ​​existenciais com variável fora do escopo implica?

O que instanciar variáveis existenciais com variável fora do escopo implica?