Por que


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Eu gostaria de saber se existe uma regra para provar isso. Por exemplo, se eu usar a lei distributiva, receberei apenas .(AA)(A¬B)


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Bem-vindo à Ciência da Computação! O que você tentou? Onde você ficou preso? Não queremos apenas entregar a solução; queremos que você obtenha entendimento. No entanto, como não sabemos qual é o seu problema subjacente, não podemos começar a ajudar. Consulte aqui para obter dicas sobre como fazer perguntas sobre problemas de exercícios. Se você não souber como melhorar sua pergunta, por que não perguntar no Computer Science Chat ?
Raphael

Um ser verdadeiro é necessário em ambas as condições e é suficiente para o da esquerda.
Millie Smith

Respostas:


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Acho que as fotos são ótimas para qualquer coisa simples o suficiente para usá-las, o que é isso.

Diagrama renderizado

Lembrar:

E significa a área ocupada por ambas as coisas. Então a do meio é o que é colocado fora de B, mas também dentro de A. A junção deles não é contada porque está dentro de A, mas não fora de B.

OU significa que é coberto por um ou ambos. Ambos cobrem a parte de A que está fora de B, e a junção é coberta por A (primeira figura), portanto também é contada. Em suma, você apenas tem A novamente.

Desculpe se isso é muito simplista, não sei em que nível você está.


Para completar, ele poderia ser bom para mostrar o caso em que B e A são disjuntos e outro caso em que B é A.
Eric Duminil

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@EricDuminil Eu discordo. O melhor deste trabalho de diagrama de Venn é que é válido se alguma das regiões está vazia ou não.
Mark S.

3
+1 na resposta de Mark S. A coisa sobre os diagramas de Venn, e a razão pela qual eles ainda (espero!) Ensinam nas aulas de matemática do ensino médio, é que eles realmente funcionam . Se você (Eric) está se perguntando "mas e se B e A forem disjuntos? ...", você ainda não entendeu o que um diagrama de Venn está realmente representando. Representa as quatro possibilidades lógicas como quatro regiões geométricas: (A&B) [a cunha do meio], (A & ~ B) [crescente esquerdo], (~ A & B) [crescente direito] e (~ A & ~ B) [o resto de a página]. Colocá-los como Erin nos ajuda a visualizar um problema lógico como um problema geométrico .
Quuxplusone 8/10

@EricDuminil (destinado a qualquer pessoa que esteja lendo isso no futuro), se for disjuntivo, o do meio será apenas A (nenhuma parte de A no interior de B), então você terá A ou A = A e, se A = B, o meio será vazio (sem parte de um está fora B), assim você terá um ou nada = a
Erin

1
@ djechlin: Eu estava cansado. Se A for B, você poderá ignorar as partes esquerda e direita.
Eric Duminil

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Existem muitas maneiras de ver isso. Um é uma tabela da verdade. Outro é a utilização da regra distributiva:

A(A¬B)=(A)(A¬B)=A(¬B)=A=A.

Na segunda etapa, esse sinal de igual não deveria significar relação de equivalência?
KumarAnkit

Estou usando = no seu significado usual, como em 2 + 2 = 4.
Yuval Filmus

ok, você pode explicar a transição do segundo passo para o terceiro passo?
KumarAnkit

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Eu usaria minha regra de inferência menos favorita: Eliminação de disjunção . Basicamente, diz que se segue de P e R segue de Q , então R deve ser verdadeiro se P Q : ( P R ) , ( Q R ) , ( P Q ) RRPRQRPQ

(PR),(QR),(PQ)R

Então, vamos assumir . Conjunto P = O , Q = Um ¬ B , R = A e aplicar a regra:A(A¬B)P=AQ=A¬BR=A

  • Se ( = A ) nós terminamos.P=A
  • Se , em seguida, um (por eliminação conjunto, S T S )Q=A¬BASTS
  • Por eliminação disjunção .A(A¬B)A

O inverso é trivial: assumir , em seguida, por uma das variantes de introdução conjunto ( S S T para qualquer t ) Um Um ( ) .ASSTTAA()

Aqui está um diagrama dessa prova:

Prova renderizada


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Me desculpe, como você desenhou esse diagrama? Sinto o cheiro mais fraco de Coq.
Tobia Tesan

1
@TobiaTesan Fui eu quem "desenhou" o diagrama. Eu usei um software chamado slate para fazer isso.
Sriotchilism O'Zaic

1
@EpsilonNeighborhoodWatch: muito obrigado. Desculpe-me por abusar ainda mais da sua paciência, mas esse software pode ser obtido de alguma maneira? O link no cabeçalho (www.cogsci.rpi.edu/slate) parece morto #
Tobia Tesan 8/17/17

@TobiaTesan O Visio da Microsoft também pode ser usado para desenhar diagramas assim. Se você é afiliado a uma universidade ou empresa de grande porte que oferece software da Microsoft para estudantes / funcionários ou se você possui uma assinatura do MSDN, talvez já tenha acesso pago a ela.
Nat

@Nat Sure (ou você pode criar e fazer isso em TikZ: P), mas fiquei com a impressão de que a coisa usada pelo EpsilonNeighborhoodWatch tinha recursos de assistente de prova, daí o meu interesse :) O FWIW Proof General pode fazer algo assim , mas a visualização da árvore de provas é muito mais feia.
Tobia Tesan

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CDCD=DDCD

C=UMA¬BD=UMA


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Um visual mais intuitivo:

Asempre é verdade quando Aé verdade.

A & -B é verdade quando Aé verdade.

Intuitivamente, aplicando OR para estes dois produziria um resultado Cque é sempre verdade quando Aé verdade. Como tal, Cé sempre verdade quando Aé verdade.

(Pare de ler aqui se esta explicação funcionar para você.)

É assim que eu penso sobre esse problema. No entanto, essa explicação não está completa, pois tudo o que mostramos é isso A -> Ce não A <-> C.

Então, também vamos mostrar isso C -> A.

Aé sempre falso quando Aé falso.

A & -Bé sempre falso quando Aé falso.

Intuitivamente, aplicando OR para estes dois produziria um resultado Cque é sempre falso quando Aé falso. Como tal, Cé sempre falso quando Aé falso; -A -> -C, que é a mesma coisa que C -> A.

Então A -> Ce C -> Aassim A <-> C.


3

Às vezes, as pessoas ficam confusas com as letras. As pessoas gostam de comida, porque é fácil pensar.

Finja que eu peço que você jogue uma moeda para escolher entre uma OU outra das duas opções a seguir:

  • Uma maçã ou ...
  • Uma maçã e definitivamente sem banana.

[O primeiro é igual a "A", o segundo "A e não B". Mas não pense nas letras. Pense na maçã e se você também ganha uma banana.]

Essa primeira realmente significa "Uma fersura de maçã e talvez você consiga uma banana".

Portanto, deixar algo de fora é o mesmo que dizer "talvez".

Olhando para eles como um par, o que você conseguir, definitivamente haverá uma Apple envolvida. Yay. E se o seu sorteio escolher o caminho certo, você poderá obter uma banana.

Mas não é o mesmo que dizer "talvez você consiga uma banana"? Apenas, com metade da probabilidade?

Então, tudo o que você pode dizer logicamente é: você terá uma Apple. Você não pode dizer nada sobre comprar uma banana.


3

Semelhante à resposta de Yuval Filmus. Usando álgebra booleana, em anotação de engenharia e fatorando (ou fatorando) a A.

UMA+UMAB¯=UMA(1+B¯)=UMA1=UMA


3

Parece que ninguém mencionou ainda, então irei adiante.

A lei para lidar com esses tipos de problemas é a lei de absorção que afirma que pv (p ^ q) = p e também que p ^ (pvq) = p. Se você tentar usar a lei distributiva, isso o manterá em círculos para sempre:

(A v A) ^ (A v ~ B) = A ^ (A v ~ B) = (A ^ A) v (A ^ ~ B) = A v (A ^ ~ B) = (A v A) ^ (A v ~ B)

Eu usei o símbolo errado para not e equals, mas o ponto aqui é que, quando você está andando em círculos / quando há um e-ou um desencontro, geralmente você deve observar a lei de abusos.

B é irrelevante para o resultado, como você notará se colocar isso em uma tabela de verdade.


Isto vai bem com a resposta maçã e banana
Erin

1
@ Err +1 Além disso, fornece uma regra, enquanto a resposta da maçã e da banana apela apenas à intuição e o OP solicita uma regra, não a intuição.
Rosie F

2

Outra maneira intuitiva de analisar isso:

Se A é um conjunto, então podemos dizer que qualquer objeto é (em A) ou (não em A).

Agora observe S = A ou (A e não B) :

  • Se um objeto estiver em A, "A ou qualquer coisa" contém todos os elementos em A; portanto, o objeto também estará em S.

  • Se um objeto não estiver em A, "A e qualquer coisa" exclui todos os elementos que não estão em A; portanto, o objeto não está em A nem em (A e não B), portanto não está em S.

Portanto, o resultado é que qualquer objeto em A está em S, e qualquer objeto que não esteja em A não está em S. Portanto, intuitivamente, os objetos em S devem ser exatamente aqueles em A e nenhum outro objeto.

Quando dois conjuntos têm elementos idênticos, eles são definidos para serem o mesmo conjunto. Então A = S.


2

Um método simples que você sempre pode usar se estiver preso é a análise de caso.

UMA

UMA

UMA


0
lets consider: 
  1) A as 1 and B as 0. 
  2) A as 0 and B as 1. 
  3) A as 1 and B as 1.
  4) A as 0 and B as 0.

using the first scenario : A or (A and !B) => 1 or ( 1 and 1) => 1 0r 1 => 1
using the second scenario: A or (A and !B) => 0 or ( 0 and 0) => 0 or 0 => 0
using the third scenario : A or (A and !B) => 1 or ( 1 and 0) => 1 or 0 => 1
using the fourth scenario: A or (A and !B) => 0 or ( 0 and 1) => 0 or 0 => 0

From the above four cases, the result always depends on A not on B, so the result is A.
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