Lógica monádica de segunda ordem para manequins

Sou programador com domínio de autômatos, mas não de lógica.

Li nos jornais que os dois estão muito relacionados. Autômatos finitos determinísticos (DFA), autômatos em árvore e autômatos visivelmente pushdown estão todos relacionados à lógica monádica de segunda ordem (MSO). Embora eu entenda que os autômatos e as pessoas (nos documentos) tentaram explicar a relação com o MSO para mim, eles sempre assumem um forte background em lógica e um entendimento do MSO.

Quando olho para livros e cursos sobre lógica, eles geralmente lidam apenas com lógica de primeira ordem, o que parece bastante simples e consiste em apenas alguns conceitos: variáveis, ou, e, e não, implica, para todos, existe, etc.

Alguém pode me explicar ou apontar para um recurso que possa explicar:

O que é lógica de segunda ordem em contraste com a lógica de primeira ordem?
O que é lógica monádica versus lógica não monádica?
Por que é importante que uma lógica de segunda ordem seja monádica para ser decidida OU por que essa é a pergunta errada?
Por que a lógica monádica de segunda ordem é decidível?
A relação com pelo menos DFAs?

Se for um recurso, seria bom se assumir que sou um programador e não um lógico. Isso significa que eu gostaria de entender como implementá-lo como código, porque até então a matemática parece mágica para mim;)

Obrigado por qualquer ajuda que você possa me dar. Eu realmente apreciaria isto.

— Walter Schulze
fonte

"Por que é importante que uma lógica de segunda ordem seja monádica para ser decidida OU por que essa é a pergunta errada?" se você permitir a quantificação sobre um predicado binário, por exemplo,

então você imediatamente pega o poder da lógica de primeira ordem com um único predicado binário que já é indecidível (mesmo sem funções de aridade> 0 e sem igualdade) [Kalmar, Suranyi, 1950]

\exists M [. . . M (x, y) . . .]

$\exists M[...M(x,y)...]$

— Vor

O que é lógica de segunda ordem em contraste com a lógica de primeira ordem?

O que é lógica monádica versus lógica não monádica?

A lógica monádica de segunda ordem é a lógica de primeira ordem mais a quantificação sobre os conjuntos. Portanto, além de poder dizer que existe um elemento de domínio com alguma propriedade ( ), você também pode dizer que existe um conjunto de elementos de domínio com alguma propriedade. Assim, por exemplo, podemos definir 3 cores de gráficos dizendo $\exists x\dots$

\begin{aligned} \exists R \exists G \exists B [ & \forall x (x \in R \lor x \in G \lor x \in B) \\ \land \neg \exists x ((x \in R \land x \in G) \lor (x \in G \land x \in B) \lor (x \in B \land x \in R)) \\ \land \forall x \forall y (E (x, y) \to \neg ((x \in R \land y \in R) \lor (x \in G \land y \in G) \\ \lor (x \in B \land y \in B)))] . \end{aligned}

$\begin{align*} \exists R\,\exists G\,\exists B\, \big[&\forall x\,\big(x\in R\lor x\in G\lor x\in B\big)\\ &\land \neg\exists x\,\big((x\in R\land x\in G) \lor (x\in G\land x\in B) \lor (x\in B\land x\in R)\big)\\ &\land \forall x\,\forall y\,\big(E(x,y)\rightarrow \neg \big((x\in R\land y\in R)\lor (x\in G\land y\in G)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\lor (x\in B\land y\in B)\big)\big)\big]\,. \end{align*}$

Em palavras, existem cores vermelho, verde e azul tais que

todo vértice tem uma cor
e nenhum vértice tem duas cores
e, se houver uma aresta entre dois vértices, esses dois vértices não terão a mesma cor.

A lógica geral de segunda ordem permite não apenas quantificação sobre conjuntos, mas também relações arbitrárias sobre o domínio. Lembre-se de que uma relação é um conjunto de pares sobre o domínio, para alguns . Conjuntos são apenas relações unárias: e um duplo é apenas um elemento do domínio. $k$ $k$ $k=1$ $1$

Por que é importante que uma lógica de segunda ordem seja monádica para ser decidida OU por que essa é a pergunta errada?

Por que a lógica monádica de segunda ordem é decidível?

Honestamente, não me lembro das questões de decisão. Um ponto importante é que a lógica completa de segunda ordem permite quantificar a existência de uma ordem linear do domínio

\begin{aligned} \exists R \forall x \forall y \forall z [ & (R (x, y) \lor R (y, x)) \\ ((R (x, y) \land R (y, x)) \to x = y) \\ ((R (x, y) \land R (y, z)) \to R (x, z))] . \end{aligned}

$\begin{align*} \exists R\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,\big[&(R(x,y)\lor R(y,x)\big)\\ &\big((R(x,y)\land R(y,x))\rightarrow x=y\big)\\ &\big((R(x,y)\land R(y,z))\rightarrow R(x,z)\big)\big]\,. \end{align*}$

$D$ $D^n$ $n$ $D^n$ $n$

(Acho que, se seu domínio for infinito, você provavelmente precisará especificar além disso que a ordem linear é discreta e tem um elemento mínimo; então você sabe que ele tem um segmento inicial isomórfico aos números naturais, e isso deve ser suficiente.)

$\exists R_1\dots \exists R_k\,\varphi$ $R_i$ $\varphi$

A relação com pelo menos DFAs?

$\Sigma$ $\leq$ $R_a$ $a\in\Sigma$ $R_a$

$k$ $Q_1, \dots, Q_k$ $Q_i$ $i$

$j$ $Q_1, \dots, Q_k$
$Q_1$
$j$ $Q_i$ $(j+1)$
a posição final está em um estado de aceitação.

$j$ $j$ $j'>j$ $j'$

No momento, não recordo a prova do inverso (que tudo que é definível no MSO pode ser reconhecido por um autômato apropriado). Se eu tiver tempo, procurarei e postarei um esboço.

$i$ $X$ $1$ $i$ $X$

$R_a(i)$ $i$ $a$ $i\in X$ $i$ $X$ $i<j$ $i$ $j$

$\lor, \lnot$ $\exists i, \exists X$ $\cup$ ${}^c$

— David Richerby
fonte

Adicionada minha sugestão para o inverso. Aprovação pendente por @DavidRicherby

— Hendrik Jan

Obrigado por uma ótima resposta. Ainda estou processando tudo isso e trabalhando nisso, procurando termos, pensando em como implementar isso etc. Nesse meio tempo, acho que o número 3 foi a pergunta errada. Talvez devesse ter sido por que razão é tão importante a relação entre autômatos e lógica que é mencionada em tantos artigos?

— Walter Schulze