Provar que um heap binário possui

Eu estou tentando provar que um montão binária com $n$ nodos tem exatamente $\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$ folhas, dado que o heap é construído da seguinte maneira:

Cada novo nó é inserido via percolate up . Isso significa que cada novo nó deve ser criado no próximo filho disponível. O que quero dizer com isso é que as crianças são preenchidas de nível inferior e da esquerda para a direita. Por exemplo, o seguinte heap:

    0
   / \
  1   2

teria que ter sido construído nesta ordem: 0, 1, 2. (Os números são apenas índices, eles não dão nenhuma indicação dos dados reais mantidos nesse nó.)

Isso tem duas implicações importantes:

Não pode existir nó no nível sem o nível estar completamente preenchido $k+1$ $k$
Como os filhos são criados da esquerda para a direita, não pode haver "espaços vazios" entre os nós no nível ou situações como a seguinte: $k+1$
```
    0
   / \
  1   2
 / \   \
3  4    6
```

(Isso seria um heap ilegal pela minha definição.) Assim, uma boa maneira de pensar nesse heap é uma implementação de array de um heap, onde não pode haver nenhum "salto" nos indeces do array.

Então, eu estava pensando que a indução provavelmente seria uma boa maneira de fazer isso ... Talvez algo que precise lidar com casos ímpares para n. Por exemplo, alguma indução usando o fato de que mesmo pilhas montadas dessa maneira devem ter um nó interno com um filho para um n par e nenhum nó para um n ímpar. Ideias?

data-structures binary-trees

— varatis
fonte

@ DaveClarke: Não é bem assim; a questão vinculada é o resultado de um mal-entendido sobre as partes dos editores deixadas lá para referência.

— Raphael

Você já tentou indução sobre o número do nó resp. número de inserções?

— Raphael

@DaveClarke: Por quê? É uma pergunta válida em si mesma, imho.

— Raphael

BTW, a questão não tem nada a ver com montões. A reivindicação é válida para qualquer árvore binária completa

— Ran G.

Respostas:

Se eu receber sua pergunta corretamente, o heap obtido é apenas uma árvore binária ordenada, onde, em ordenado, quero dizer que o ésimo nível só pode ser ocupado após o nível ter sido completamente preenchido, e cada nível é ocupado da esquerda para a direita, sem pular. $k$ $k-1$

Então a prova é assim.

Uma árvore perfeita de profundidade tem exatamente nós. $k$ $2^{k+1}-1$
Suponha que o heap atinja a profundidade . portanto
1. até o nível a árvore é perfeita (e tem nós lá) $k-1$ $2^k-1$
2. no último nível, existem exatamente nós, que são todos folhas. $n-2^k+1$
Cada folha no ésimo nível tem um pai. Além disso, cada duas folhas consecutivas têm o mesmo pai (talvez, exceto o último nó, cujo pai tenha apenas um filho) $k$
Assim, dos nós no nível , $2^{k-1}$ $k-1$ são pais e o resto $\left\lceil \frac{n-2^{k}+1}{2} \right\rceil$ são folhas. $2^{k-1} - \left\lceil\frac{n-2^{k}+1}{2}\right\rceil$
A quantidade total de folhas é que lhe dá o que você precisa. $n - 2^{k} + 1 + 2^{k - 1} - ⌈ \frac{n - 2^{k} + 1}{2} ⌉$ $n-2^k+1 + 2^{k-1} - \left\lceil\frac{n-2^{k}+1}{2}\right\rceil$

— Tocou.
fonte

Observe que full é diferente de complete e diferente de árvores binárias perfeitas . Escolha infeliz, ambígua e inconsistente de palavras, mas o que você pode fazer sobre isso? Eu acho que seguir a definição da Wikipedia faz sentido, pois a maioria procurará lá primeiro?

— Raphael

Uau, eu nem conhecia esses termos. Obrigado por apontar isso.

— Ran G.

"até o nível k − 1, a árvore é perfeita (e possui 2 ^ k - 1 nós lá)" e "Assim, dos 2 ^ (k − 1) nós no nível k − 1" parecem declarações conflitantes, Ou eu estou esquecendo de alguma coisa?

— Adriano h.

2^{k} - 1

$2^k-1$

2^{k - 1}

$2^{k-1}$

2^{k - 1} + 2^{k - 2} + . . .

$2^{k-1}+2^{k-2}+...$

Ah, você está completamente certo, muito obrigado pelo esclarecimento!

— Adriano h.

Aqui está uma prova lógica mais simples.

$n^{th}$ $\lfloor{n/2}\rfloor$ $\lfloor n/2 +1\rfloor)^{th}$ $\lfloor{n/2}\rfloor$

$\lfloor(n/2)\rfloor$ $\lceil(n/2)\rceil$

— Zubin Pahuja
fonte

Explicação bastante intuitiva e clara. Obrigado.

— whitehat