Por que a solidez implica consistência?

Eu estava lendo a pergunta Consistência e integridade implicam solidez? e a primeira afirmação diz:

Entendo que a solidez implica consistência.

O que me deixou bastante intrigado porque pensei que a consistência era uma afirmação mais fraca que a consistência (ou seja, pensei que sistemas consistentes deviam ser sólidos, mas acho que não é verdade). Eu estava usando a definição informal que Scott Aaronson estava usando em seu curso 6.045 / 18.400 no MIT para consistência e solidez:

1. Solidez = Um sistema de prova é válido se todas as afirmações que provar forem realmente verdadeiras (tudo o que for possível provar é Verdadeiro). ou seja, SE ( é comprovável) ( é True). Então, SE (existe um caminho para uma fórmula) THEN (essa fórmula é True)$\phi$$\implies$$\phi$
2. Consistência = um sistema consistente nunca prova A e NÃO (A). Portanto, apenas um A ou sua negação pode ser verdadeira.

Usando essas definições (talvez informais) em mente, construí o exemplo a seguir para demonstrar que existe um sistema sólido, mas não consistente:

A razão pela qual pensei que era um sistema de som é porque, por suposição, os axiomas são verdadeiros. Portanto, A e não A são verdadeiros (sim, eu sei que a lei do meio excluído não está incluída). Como a única regra de inferência é a negação, obtemos que podemos alcançar A e não A a partir dos axiomas e alcançar um ao outro. Assim, apenas alcançamos afirmações verdadeiras com relação a este sistema. No entanto, é claro que o sistema não é consistente porque podemos provar a negação da única declaração no sistema. Portanto, demonstrei que um sistema de som pode não ser consistente. Por que este exemplo está incorreto? O que eu fiz errado?

Na minha cabeça, isso faz sentido intuitivamente, porque a solidez apenas diz que, uma vez que partimos e axiomamos e acionamos as regras de inferência, apenas alcançamos destinos (isto é, declarações) que são verdadeiras. No entanto, ele realmente não diz qual destino chegamos. No entanto, a consistência diz que só podemos alcançar destinos que atingem ou (ambos não os dois). Portanto, todo sistema consistente deve incluir a lei do meio excluído como um axioma, o que, é claro, eu não incluí e apenas incluí a negação do único axioma como o único outro axioma. Então não parece que fiz algo muito inteligente, mas de alguma forma algo está errado?$A$$\neg A$

Percebo que poderia ser um problema porque estou usando a definição informal de Scott. Mesmo antes de escrever a pergunta, verifiquei a Wikipedia, mas a definição deles não fazia sentido para mim. Em particular a parte que eles dizem:

com relação à semântica do sistema

a citação completa é:

toda fórmula que pode ser comprovada no sistema é logicamente válida em relação à semântica do sistema.

Eu recomendo olhar para a lógica formal além de descrições vagas e onduladas à mão. É interessante e altamente relevante para a ciência da computação. Infelizmente, a terminologia e o foco restrito de até livros didáticos especificamente sobre lógica formal podem apresentar uma imagem distorcida do que é a lógica. A questão é que, na maioria das vezes, quando os matemáticos falam sobre "lógica", eles (freqüentemente implicitamente) significam lógica proposicional clássica ou lógica clássica de primeira ordem. Embora esses sejam sistemas lógicos extremamente importantes, eles não estão nem perto da amplitude da lógica. De qualquer forma, o que vou dizer ocorre em grande parte nesse contexto restrito, mas quero deixar claro que isso está acontecendo em um contexto específico e não precisa ser verdadeiro fora dele.

Primeiro, se a consistência for definida como não provar tanto $A$ e , o que acontece se nossa lógica nem sequer tiver negação ou se $\neg A$$\neg$significa outra coisa? Claramente, essa noção de consistência faz algumas suposições sobre o contexto lógico no qual ela opera. Normalmente, é isso que estamos trabalhando na lógica proposicional clássica ou em alguma extensão dela, como a lógica clássica de primeira ordem. Existem várias apresentações, isto é, listas de axiomas e regras, que poderiam ser chamadas de lógica proposicional / de primeira ordem clássica, mas, para nossos propósitos, o que realmente não importa. Eles são equivalentes em algum sentido adequado. Normalmente, quando estamos falando de um sistema lógico, queremos dizer uma teoria de primeira ordem (clássica). Isso começa com as regras e axiomas (lógicos) da lógica clássica de primeira ordem, aos quais você adiciona símbolos de função, símbolos predicados e axiomas (chamados axiomas não lógicos). Essas teorias de primeira ordem são geralmente o que

Em seguida, solidez geralmente significa solidez em relação a uma semântica. A consistência é uma propriedade sintática relacionada às provas formais que podemos fazer. A solidez é uma propriedade semântica que tem a ver com a maneira como interpretamos as fórmulas, os símbolos de função e os predicamos em objetos e declarações matemáticas. Para começar a falar sobre solidez, você precisa fornecer uma semântica, ou seja, uma interpretação das coisas mencionadas acima. Novamente, temos uma separação entre os conectivos lógicos e axiomas lógicos e os símbolos de função, símbolos predicados e axiomas não lógicos. O que torna conectivos conectivos e axiomas lógicos axiomas lógicos do ponto de vista semântico é que eles são tratados especialmente pela semântica, enquanto símbolos de função, símbolos predicados e axiomas não lógicos não.$[\![\varphi\land\psi]\!]=[\![\varphi]\!]\cap[\![\psi]\!]$ onde eu uso como a interpretação da fórmula$[\![\varphi]\!]$$\varphi$ . Em particular, onde$[\![\neg\varphi]\!]=D\setminus[\![\varphi]\!]$$D$ é o domínio definido. A idéia é que uma fórmula seja interpretada como o conjunto de (tuplas de) elementos de domínio que satisfazem a fórmula. Uma fórmula fechada (isto é, sem variáveis ​​livres) é interpretada como uma relação nula, ou seja, um subconjunto de um conjunto singleton que pode ser apenas esse singleton ou o conjunto vazio. Uma fórmula fechada é "verdadeira" se não for interpretada como o conjunto vazio. A solidez é então a afirmação de que toda fórmula provável (fechada) é "verdadeira" no sentido acima.

É fácil daqui, mesmo a partir do esboço que forneço, provar que a solidez implica consistência (no contexto das lógicas clássicas de primeira ordem e da semântica que descrevi). Se sua lógica for correta, todas as fórmulas comprováveis ​​interpretam como um conjunto não vazio, mas

Solidez e consistência são propriedades de sistemas dedutivos. A solidez só pode ser definida com relação a algumas semânticas que se supõe serem dadas independentemente do sistema dedutivo.

No domínio da semântica, as duas propriedades estão relacionadas

Definição 1 ( Solidez [semântica] - emprestada da Wikipedia ) A solidez de um sistema dedutivo é a propriedade que qualquer sentença comprovável nesse sistema dedutivo também é verdadeira em todas as interpretações ou estruturas da teoria semântica da linguagem sobre a qual essa teoria é baseado.

Definição 2 ( Consistência [Semântica] ) Um conjunto de frases no idioma L é consistente se, e somente se, existir uma estrutura da linguagem L que satisfaça todas as frases em $A$$\mathfrak{L}$$\mathfrak{L}$$A$ . Um sistema dedutivo é consistente se existir uma estrutura que satisfaça todas as fórmulas prováveis ​​nele.

Com as duas definições dadas acima, fica claro que a solidez implica consistência. Ou seja, se o conjunto de todas as sentenças prováveis ​​se mantém em todas as estruturas da linguagem, existe pelo menos uma estrutura que as satisfaz.

Seu sistema de prova é som nem consistente, uma vez que não é uma proposição verdadeira a menos que A ≡ ⊤ , caso em que ¬ A ≡ ⊥ não é uma proposição verdadeira. Esse argumento mostra que todo sistema de prova de som também é consistente.$A$$A \equiv \top$$\lnot A \equiv \bot$

Muitas vezes, quando criamos sistemas lógicos, eles são motivados por uma tentativa de descrever um fenômeno pré-existente. Por exemplo, a aritmética Peano é uma tentativa de axiomatizar os números naturais, juntamente com as operações de adição e multiplicação.

A solidez só pode ser definida em relação ao fenômeno que você está tentando descrever, e essencialmente significa que seus axiomas e regras de inferência realmente descrevem a coisa em questão. Assim, por exemplo, a aritmética Peano é sólida, porque seus axiomas e regras de inferência são realmente verdadeiros sobre os números naturais.

É claro que isso implica que você tem um conceito de "números naturais" além da definição de Peano para eles, e alguma noção do que é verdadeiro ou falso para os números naturais sem derivar essas verdades de qualquer conjunto particular de axiomas. Tentar explicar de onde vêm essas verdades ou como elas podem ser verificadas pode levá-lo a águas quentes filosóficas. Mas se você considerar que existem números naturais e há alguma coleção de fatos verdadeiros sobre eles, poderá ver o projeto de axiomatização como simplesmente tentando criar uma especificação formal concisa da qual muitos dos mais importantes verdades podem ser derivadas. Então, uma axiomatização é sólida se tudo o que puder provar estiver na coleção pré-especificada de verdades, ou seja,

(Observe, em particular, que sua especificação formal não prova tudo o que é verdadeiro sobre os números naturais e, além disso, não provoca exclusividade descreverá os números naturais, pois existem outras estruturas, diferentes dos números naturais, nas quais os axiomas de Peano são também verdade.)

Na lógica de primeira ordem, pelo menos, uma teoria é consistente se tiver algum modelo. Solidez significa que ele tem o modelo específico que você queria: a estrutura específica que você estava tentando descrever com a sua teoria é realmente um modelo da sua teoria. Nessa perspectiva, fica claro por que a solidez implica consistência.

$\neg$ Con (PA) não pode provar uma contradição, portanto deve ser consistente. Mas não é correto: afirma que existe um número natural que codifica uma prova de falsidade dos axiomas da PA, mas não pode haver esse número nos números naturais "reais", pois, caso contrário, nós '

$\neg$$\mathbb N$

$\neg$ Con (PA) é um sistema lógico perfeitamente legítimo - ele simplesmente não descreve com precisão os números naturais, e os números naturais não são um modelo dele.

Mais uma coisa: não assumimos que os axiomas sejam verdadeiros por definição. Todos os axiomas são, por definição, apenas os blocos básicos de construção de provas. São apenas alegações: são verdadeiras ou falsas quando aplicadas a objetos matemáticos específicos. Você pode ter axiomas falsos, é apenas uma bobagem, porque seu sistema será necessariamente e imediatamente não será válido.

Para ter uma resposta concisa (e intuitiva), parafraseio o que Scott Aaronson disse em sua palestra 6.045 / 18.400 do MIT. Ele disse algo assim:

Solidez significa que tudo o que é provável é verdadeiro. Como consistência significa que não há contradições e a solidez já envolvida, o conceito de verdade e verdade deve ser consistente (ou seja, Verdadeiro! = Falso), então isso deve significar que os sistemas de som também são consistentes. Portanto, a solidez implica consistência porque (verdadeiramente) as coisas verdadeiras não têm contradições.

Agora que reflito, percebo que tive algumas suposições / idéias incorretas:

1. Não sabia que a solidez era sobre semântica. Assim, não percebi que apenas o uso de regras de inferência a partir dos axiomas não é suficiente para levar a consequências verdadeiras (e que não o garante, o que eu achava impossível alcançar coisas contraditórias desde que partíssemos dos axiomas e regras de inferência válidas).
2. Pensei que, enquanto os axiomas fossem verdadeiros e as regras de inferência fizessem sentido, tudo o que acontecesse seria verdadeiro. O que agora percebo pode não ser verdade, pois se tivermos apenas uma lista gigante de axiomas e a inferência governar, é difícil argumentar se tudo o que se segue será verdadeiro. isto é, apenas começar com um axioma e usar uma regra de inferência válida não é suficiente para garantir que o próximo passo seja verdadeiro.
3. O anterior é essencialmente associado ao fato de eu não perceber que existem dois níveis de complexidade: 1) semântica 2) sintática. Dar partida no jogo de trituração de símbolos pode levar a contradições.
4. Não sabia que não conhecia a caracterização adequada da verdade, o que Derek fez um ótimo trabalho em caracterizar.