A prova por contradição pode funcionar sem a lei do meio excluído?

Recentemente, eu estava pensando sobre a validade da prova por contradição. Eu li nos últimos dias coisas sobre lógica intuicionista e teoremas de Godel para ver se eles me dariam respostas para minhas perguntas. No momento, ainda tenho perguntas pendentes (talvez relacionadas ao novo material que li) e esperava obter algumas respostas

( AVISO : você está prestes a ler o conteúdo com fundamentos muito confusos na lógica, levar tudo com um pouco de sal, isso deve ser uma pergunta e não uma resposta, há muitos mal-entendidos).

Penso que minha pergunta principal é: uma vez que mostramos que A não leva a alguma contradição, então A não deve ser falso, então concluímos que A deve ser verdade. Essa parte meio que faz sentido (especialmente se eu aceito a lei do meio excluído como algo que faz sentido), mas o que me incomoda é uma espécie de como a prova pela contradição realmente ocorre. Primeiro começamos com não A e depois aplicamos axiomas e regras de inferências (digamos mecanicamente) e vemos aonde isso nos leva. Geralmente chega a uma contradição (digamos que A seja verdadeiro ou $\neg \varphi$ e $\phi$ seja verdadeiro). Concluímos que não A deve ser falso, então A é verdadeiro. Isso é bom. Mas minha pergunta é: que tipo de garantias os sistemas formais têm quese eu aplicasse o mesmo processo, mas iniciasse com A, também não haveria contradição por lá ? Penso que existe alguma suposição oculta em prova pelas contradições de que, se o mesmo processo em A não chegasse a uma contradição , que tipo de garantias temos que isso não aconteceria? Existe uma prova que é impossível? Em outras palavras, se eu tivesse uma Turning Machine (TM) (ou super TM) que durasse para sempre, tentaria todas as etapas lógicas de todos os axiomas, a partir da afirmação supostamente verdadeira $A$ , o que garante que ele NÃO DIGA devido a encontrar uma contradição ?

Fiz então algumas conexões com a minha pergunta anterior com o teorema da incompletude de Godel, algo mais ou menos assim:

Um sistema formal F que expressa aritmética não pode provar sua própria consistência (dentro de F).

Isso basicamente deixou claro para mim que se isso é verdade, então a consistência, ou seja, garantir que A e não A não aconteça é impossível. Portanto, fez parecer que a prova por contradição supõe implicitamente que a consistência é garantida de alguma forma (caso contrário, por que isso iria em frente e concluiria que A é verdade, provando que A não é possível se já não sabia a consistência? e contradição, se for o caso, para qualquer par de afirmações A e não A)? Isso está incorreto ou eu perdi alguma coisa?

Então pensei: ok, vamos apenas incluir em nossos axiomas a regra do meio excluído e, em seguida, todos os problemas serão resolvidos. Mas então percebi, espere, se fizermos isso, estamos apenas definindo o problema, em vez de lidar com ele. Se eu forçar meu sistema a ser consistente por definição, isso não significa necessariamente que ele seja realmente consistente ... certo? Estou apenas tentando entender essas idéias e não tenho muita certeza do que fazer, mas é isso que percebo depois de alguns dias lendo coisas e assistindo a vídeos em quase todos os aspectos desses conceitos, contradição, meio exclusivo, lógica intuicionista, teoremas de completude e incompletude de Godel ...

Relacionado a isso, parece que é essencialmente impossível provar diretamente diretamente que algo é falso sem a regra do meio excluído (ou contradição). Parece que os sistemas de prova são bons em provar afirmações verdadeiras, mas, no meu entender, são incapazes de mostrar diretamente que as coisas são falsas. Talvez o modo como eles o façam seja mais indiretamente com a contradição (onde eles mostram que algo deve ser falso ou que coisas ruins aconteçam) ou excluídos do meio (onde o conhecimento do valor de verdade de apenas um A ou não A nos dá a verdade do outro) ou fornecendo exemplos contrários (que basicamente mostram que o oposto é verdadeiro, então indiretamente usa a lei do meio excluído). Eu acho que talvez eu realmente queira uma prova construtiva de que algo é falso?

Eu acho que se eu soubesse que, se eu provar que A não é falso (diga que aceito contradição), está tudo bem e não preciso aplicar todas as regras e axiomas de inferência infinitamente em A e tenho certeza de que A venceu chegue a uma contradição. Se isso fosse verdade, acho que poderia aceitar provas por contradição mais facilmente. Isso é verdade ou a segunda incompletude de Godel garante que eu não posso ter isso? Se não posso ter isso, então, o que me intriga é como é possível até tantos anos de matemáticos praticando matemática que não encontramos uma inconsistência? Preciso confiar em evidências empíricas de consistência? Ou, por exemplo, eu prof F é consistente mostrando superF prova F, mas como eu nunca precisarei realmente de superF e apenas F, então não posso estar contente com o que realmente funciona?

Acabei de perceber que minha reclamação também se generaliza em provas diretas. Ok, então, se eu fiz uma prova direta de A, sei que A é verdadeira ... mas como sei que se fizesse uma prova direta de A, também não receberia uma prova correta? Parece a mesma pergunta ênfase apenas um pouco diferente ....

Você pediu (Eu estou fazendo a sua pergunta um pouco mais nítidas): "Que garantia formal é lá que isso não pode acontecer que tanto e p levam a uma contradição?" Você parece estar preocupado que, se a lógica é inconsistente, a prova por contradição é problemática. Mas este não é o caso.$\lnot p$$p$

Se a lógica é inconsistente, a prova por contradição ainda é uma regra válida de raciocínio, mas também é sua negação, e a regra que diz que de podemos concluir que você é o próximo papa. Uma inconsistência na lógica não invalida nada: pelo contrário, valida tudo !$1 + 1 = 2$

$p \lor \lnot p$

Complementar: Não entendo por que essa pergunta está gerando tanta discussão. Tenho dificuldade em entender qual é o dilema e, até onde posso dizer, a questão surge de algum tipo de mal-entendido. Se alguém puder esclarecer a questão, ficarei grato. Gostaria também de chamar a atenção para os seguintes pontos:

1. A prova por contradição e o meio excluído são equivalentes entre si e, portanto, o título, como está escrito, não é sensato. É claro que não podemos ter um sem o outro, eles são equivalentes.

2. Pelo que entendi pela longa discussão na pergunta, o OP parece estar dizendo ou preocupando que uma inconsistência na lógica invalide uma prova. Isso é falso, como apontei acima. Eu apreciaria algum tipo de resposta do OP: o OP pode ver como uma inconsistência na lógica (isto é, poder provar tudo) não invalida nenhuma prova?

3. $p$$\lnot p$$\lnot (p \land \lnot p)$

4. O OP considera "impossível provar diretamente que algo é falso sem o meio excluído". Ele é prova confusa de negação e prova por contradição, que não são a mesma coisa . O post vinculado tem muitos exemplos de provas construtivas de que algo é falso. De fato, a maioria das provas de que algo é falso encontrado nos livros didáticos já é construtiva.

5. $G$$G$$\lnot G$$G \lor \lnot G$$\lnot G \land \lnot\lnot G$

PS Peço desculpas pela versão anterior do suplemento que foi rude.

Acho que sua pergunta se resume a "ao fazer a verificação formal com algum tipo de lógica formal, que tipo de garantia eu tenho de que a lógica é consistente?". E a resposta é nada. Isso é algo que você deve assumir. A verificação formal não elimina todas as suposições; apenas ajuda a esclarecer o que você está assumindo e talvez ajude a garantir que você comece com suposições que pareçam razoáveis.

Se você trabalha dentro de uma lógica padrão, geralmente a maioria das pessoas fica feliz em assumir que a lógica é consistente, mesmo que não tenha uma prova desse fato. É verdade que um dia descobriremos que a lógica é realmente inconsistente ... mas a maioria das pessoas acredita que isso não é muito provável.

Em alguns casos, pode-se provar que uma lógica é consistente, mas isso requer o uso de outra lógica mais poderosa, onde devemos assumir que a segunda lógica é consistente; portanto, ainda temos que fazer algumas suposições (suponha que alguma lógica seja consistente ) Isso pode ser tomado como evidência de que a primeira lógica é provavelmente consistente, se você acredita que a segunda lógica é provavelmente consistente, mas o raciocínio precisa chegar a algum ponto - existem algumas coisas que devemos assumir e não podemos provar.

Veja, por exemplo, o segundo problema de Hilbert e essa discussão sobre a consistência do ZFC (e isso e isso e isso e provavelmente e muito mais).

Há muitos pontos filosóficos interessantes nos quais sua postagem aborda.

Consistência da lógica booleana

A questão da consistência da teoria da prova na lógica clássica não é tão terrível quanto você imagina. Basicamente, reduz-se ao seguinte:

Podemos definir a lógica booleana como uma coleção de funções de operações lógicas nos valores de verdade 1e 0. Mas como sabemos disso 0≠1?

(observe que estou simplesmente usando 0e 1como símbolos abstratos para os dois valores de verdade; em particular, não estou assumindo nenhuma noção de número inteiro aqui)

Nós, é claro, não sabemos disso 0e 1somos diferentes. Mas a lógica booleana é tão ridiculamente simples que rejeitar essa possibilidade é um nível extremo de ceticismo.

Mas a lógica proposicional clássica se reduz a isso. Lembre-se de que podemos atribuir valores booleanos às proposições atômicas de qualquer maneira, e isso se estende à atribuição de um valor a todas as proposições que podem ser construídas a partir das atômicas.

A afirmação "de Pvocê pode deduzir Q" é literalmente apenas uma relação de ordenação; significa a mesma coisa que a afirmação que " v(P) ≤ v(Q)vale para todas as funções que vatribuem valores de verdade às proposições atômicas".

As regras de inferência para a lógica proposicional são precisamente as propriedades para trabalhar com a ordenação ≤. Prova pela contradição, em particular, é a observação de que P ≤ 0, se , então P = 0.

E voltando ao seu problema ... se conhecêssemos os dois P ≤ 0e ¬P ≤ 0, depois de inserir os valores da verdade, concluiríamos isso 0=1; que verdadeiro e falso significam a mesma coisa.

Portanto, se você tem confiança de que "verdadeiro" e "falso" significam coisas diferentes, deve ter confiança semelhante na consistência da lógica booleana.

Prova por contradição na lógica intuicionista

Deve-se tomar nota cuidadosa de que a prova por contradição é melhor formulada como:

• Se você puder derivar contradições P, conclua¬P

De fato, pode-se definir claramente a negação como a conexão com essa propriedade. Por exemplo, na álgebra de Heyting, você geralmente verá ¬P definido como P → 0.

Observe, em particular, o caso especial

• Se você puder derivar contradições ¬P, conclua¬¬P

O que você descreveu como "prova por contradição" vem da identificação ¬¬Pcom P. A lógica intuicionista não assume que sejam equivalentes.

Consistência como contrato formal

Existem mais formalismos computacionais para codificação lógica; veja simplesmente o cálculo lambda digitado, os tipos dependentes e, em particular, o paradigma "proposições como tipos".

Sem entrar em detalhes, a contradição é basicamente tratada como contrato formal. Existe um tipo que chamarei 0e existe o contrato "essas funções não podem ser usadas para construir um elemento do tipo 0".

Se esse sistema é tão ousado que permite que você construa uma função T → 0, se realmente está cumprindo o contrato, significa que é igualmente impossível construir objetos do tipo T. Este é um ponto de vista computacional sobre o que significa uma prova por contradição.

Por fim, isso não é muito diferente de, por exemplo, uma função C que retorna um ponteiro que promete não retornar um ponteiro nulo ou uma função C ++ que promete não lançar uma exceção.

E voltando ao círculo, de volta à lógica clássica, é realmente o que estamos fazendo.

Nos são oferecidos contratos formais, como "dos axiomas de Peano, as regras de inferência não permitirão derivar uma contradição". Se esse contrato for realmente respeitado, se você puder mostrar que isso ¬Pimplica uma contradição, Ptambém não poderá implicar uma contradição.

E se fosse possível violar o contrato, diríamos simplesmente "os axiomas de Peano são inconsistentes".

Quando usadas para garantir a verdade de uma declaração formal, todas as provas assumem implicitamente a consistência do sistema em que se baseiam. Isso ocorre porque, se o sistema for inconsistente, a totalidade do sistema será interrompida e todo o trabalho que fizemos nesse sistema é basicamente lixo.

Como não podemos provar que qualquer sistema (ou pelo menos qualquer sistema complexo) é consistente dentro dos limites desse sistema, temos que tomá-lo como uma verdade empírica e não como uma verdade formalmente comprovável. Basicamente, se os matemáticos passam muito tempo trabalhando com um sistema formal e nenhuma contradição é descoberta, essa é uma evidência empírica a favor da consistência do sistema. Além disso, podemos usar um sistema mais poderoso para provar a consistência do sistema com o qual estamos trabalhando (embora a consistência desse sistema mais poderoso ainda seja empírica - o dinheiro para em algum lugar).

Na sua essência, a situação na matemática é idêntica à da ciência. Construímos matemática baseada em teorias que parecem corretas com base em todas as informações que temos disponíveis sobre essas teorias e, como na ciência, você não pode provar que uma teoria está correta; você só pode provar que está incorreto.

$S$

Não importa em que sistema de axiomas escolhemos basear a matemática, sempre há o perigo de descobrirmos uma contradição nesse sistema. É exatamente por isso que os matemáticos não introduzem novos axiomas na matemática: cada novo axioma tem uma chance de ser incompatível com os axiomas já em uso, e todo o trabalho que usa o novo axioma deve ser completamente reavaliado.

Adendo: Quando falo sobre uma afirmação verdadeira para um determinado sistema, quero dizer que ela não pode ser contestada nesse sistema se esse sistema for consistente.