Qual é exatamente a diferença semântica entre categoria e conjunto?

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Nesta pergunta, perguntei qual a diferença entre conjunto e tipo . Essas respostas foram realmente esclarecedoras (por exemplo, @AndrejBauer), portanto, na minha sede de conhecimento, me submeto à tentação de perguntar o mesmo sobre categorias:

Toda vez que leio sobre a teoria das categorias (que reconhecidamente é bastante informal), não consigo entender realmente como ela difere da teoria dos conjuntos, concretamente .

Portanto, da maneira mais concreta possível, o que exatamente significa sobre $x$ dizer que está na categoria , em comparação com dizer que ? (por exemplo, qual é a diferença entre dizer é um grupo, e dizer que está na categoria ?). $C$ $x\in S$ $x$ $x$ $\mathrm {Grp}$

(Você pode escolher qualquer categoria e conjunto que torne a comparação mais esclarecedora).

sets category-theory

— user56834
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Não tenho certeza se esta pergunta está bem formada. Primeiro você pergunta qual é a diferença entre dizer que 'x está em uma categoria C' vs 'x está em um conjunto S'. Mas então você dá o exemplo de perguntar 'x está na categoria Grp' vs 'x é um grupo'. O que? Esse não é um exemplo da sua pergunta. Um exemplo de sua pergunta é perguntar qual é a diferença entre 'x está na categoria Grp' e 'x está no conjunto de todos os grupos'. Mas, mesmo assim, não é exatamente o que você está perguntando, se está perguntando quais são as diferenças entre categorias e conjuntos.

— Route de milhas

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Em resumo, a teoria dos conjuntos é sobre associação, enquanto a teoria das categorias é sobre transformações de preservação da estrutura.

A teoria dos conjuntos refere-se apenas à associação (isto é, ser um elemento) e o que pode ser expresso em termos disso (por exemplo, ser um subconjunto). Não se preocupa com outras propriedades de elementos ou conjuntos.

A teoria das categorias é uma maneira de falar sobre como as estruturas matemáticas de um determinado tipo ¹ podem ser transformadas umas nas outras ² por funções que preservam algum aspecto de sua estrutura; fornece uma linguagem uniforme para falar de uma grande variedade de tipos ¹ de estrutura matemática (grupos, autômatos, espaços vetoriais, conjuntos, espaços topológicos, ... e até categorias!) e os mapeamentos dentro desses tipos ¹ . Embora formalize as propriedades dos mapeamentos entre estruturas (na verdade: entre os conjuntos nos quais a estrutura é imposta), ele lida apenas com propriedades abstratas de mapas e estruturas, chamando-as de morfismos (ou setas ) e objetos; os elementos de tais conjuntos estruturados não são preocupação da teoria das categorias, nem as estruturas desses conjuntos. Você pergunta “do que é uma teoria ”; é uma teoria dos mapeamentos de preservação de estrutura de objetos matemáticos de um tipo arbitrário ¹ .

A teoria das categorias abstratas ³ , no entanto, como acabamos de declarar, ignora totalmente os conjuntos, operações, relações e axiomas que especificam a estrutura dos objetos em questão, e apenas fornece uma linguagem para falar sobre como os mapeamentos que preservam essa estrutura comportamento: sem saber qual estrutura é preservada, sabemos que a combinação de dois desses mapas também preserva a estrutura. Por essa razão, os axiomas da teoria das categorias exigem que exista uma lei de composição associativa sobre morfismos e, da mesma forma, que exista um morfismo de identidade de cada objeto para si. Mas não assume que os morfismos sejam realmente funções entre conjuntos, apenas que eles se comportem como eles.

A ser elaborado: Categorias concretas modelam a idéia de adicionar estrutura aos objetos de uma 'categoria base'; quando este é , podemos ter a situação em que adicionamos estrutura a uma operação de grupo a um conjunto. Nesse caso, pode-se dizer mais sobre como a estrutura é adicionada em termos da categoria de base específica. $\mathsf{Set}$

Quanto às implicações de suas formulações , dizer que " é um grupo", que " é um elemento do conjunto de grupos" (na verdade uma classe adequada ) ou que " é (um objeto) em " ( ou um “ objeto de ”) significam a mesma coisa logicamente, mas falar sobre a categoria sugere que você está interessado em homomorfismos de grupo (os morfismos em ) e talvez no que eles têm em comum com outros morfismos. Por outro lado, dizendo $G$ $G$ $G$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $G$ Um grupo pode sugerir que você está interessado na estrutura do grupo (sua operação de multiplicação) ou talvez em como o grupo age em algum outro objeto matemático. É improvável que você fale sobre pertencendo ao conjunto de grupos, embora possa escrever facilmente para um conjunto de grupos nos quais você está interessado. $G$ $G ∈ S$ $S$

Veja também

/math/tagged/category-theory?sort=votes
- Em particular, /math/272875/concrete-category-and-abstract-category#1774821
Categorias Abstratas e Concretas: A Alegria dos Gatos por Adámek, Herrlich e Strecker
https://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory
- https://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_category

¹ _{Aqui e passim , não me refiro ao tipo no sentido da teoria dos tipos, mas a um conjunto de propriedades exigidas dos objetos / estruturas matemáticas, isto é, um conjunto de axiomas que eles satisfazem. Normalmente estes descrevem o comportamento de algumas operações ou relações em elementos dos conjuntos consideradas para realizar a estrutura, embora no caso de conjuntos de si ( ) não existe uma estrutura para além dos próprios conjuntos. De qualquer forma, como dito acima, a teoria da categoria ignora os detalhes dessa estrutura. $\mathsf{Set}$}

² _{Eu talvez devesse dizer a toda ou parte um do outro : um permite que o homomorfismo de (inteiros) em (racionais) dado por $\mathbb Z$ $\mathbb Q$ . $n \mapsto \frac n 2$}

³ _{Sem qualificação, ' categoria ' normalmente significa 'categoria abstrata', introduzida, tanto quanto posso ver, em 1945 e desenvolvida na década de 1960, enquanto as categorias concretas parecem aparecer na década de 1970.}

— PJTraill
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Não tenho certeza se isso foi retórico, mas há definitivamente uma classe adequada de grupos. Por exemplo, todo conjunto gera um grupo trivial no conjunto singleton que contém esse conjunto. Você também pode produzir uma classe adequada de exemplos não isomórficos.

— Derek Elkins deixou o SE

Obrigado. Quando você diz: "é uma teoria dos mapeamentos que preservam a estrutura de objetos matemáticos de um tipo arbitrário ", você quer dizer "tipo" no sentido da teoria dos tipos ou mais informalmente?

— User56834

@ Programmer2134: Desculpe se o tipo era confuso (perguntei-me); Não pretendo me referir à teoria dos tipos (da qual sei pouco), mas sim objetos / estruturas matemáticas com um certo conjunto de propriedades (isto é, satisfazer certos axiomas) por objetos / estruturas matemáticas de um determinado tipo .

— PJTraill

Isso esclarece. Então, a teoria das categorias também assume especificamente que existem tais axiomas e que todos esses objetos satisfazem esses axiomas, ou isso é apenas um meta critério que usamos para definir categorias (ou seja, meta para a estrutura da teoria das categorias)?

— User56834

@ Programmer2134: Não, a teoria das categorias ignora totalmente os axiomas e apenas fornece uma linguagem para falar sobre mapeamentos que preservam alguma estrutura: sem saber qual estrutura é preservada, sabemos que a combinação de dois mapas também preserva a estrutura. Por essa razão, os axiomas da teoria das categorias exigem que exista uma lei de composição associativa sobre morfismos e, da mesma forma, que exista um morfismo de identidade de cada objeto para si. Mas não assume que os morfismos sejam realmente funções entre conjuntos, apenas que eles se comportam como eles.

— PJTraill

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A teoria das categorias é, de certo modo, uma generalização da teoria dos conjuntos: a categoria pode ser a categoria dos conjuntos ou pode ser outra coisa. Portanto, você aprende menos se descobrir que é um objeto em alguma categoria não especificada do que se aprender que é um conjunto (pois, no último caso, segue-se que é um objeto especificamente na categoria de conjuntos). Se você aprender que é um objeto em uma categoria específica especificada (que não seja a categoria de conjuntos), o que você aprenderá será diferente de aprender que é um conjunto (ou seja, um objeto na categoria de conjuntos); nenhum implica o outro. $C$ $x$ $x$ $x$ $x$ $x$

Não há diferença entre dizer que é um grupo e dizer que é um objeto na categoria Grp. Essas duas declarações são equivalentes. $x$ $x$

Nota: não dizemos que está na categoria Grp; dizemos que é um objeto na categoria Grp. Uma categoria possui objetos e setas. Você precisa especificar do que está falando. $x$ $x$

— DW
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Então, deixe-me comparar categorias com conjuntos e tipos, como o @AndrejBrauer fez em sua resposta à minha outra pergunta. Um conjunto formaliza a noção de uma coleção de objetos. Um tipo formaliza a noção de construção de objetos. Que noção formaliza "Categoria"? De que processo / estrutura matemática a teoria das categorias é uma teoria ?

— user56834

"Então, você aprende menos se aprender que

é um objeto em alguma categoria não especificada do que se aprender que

é um conjunto ". Se você substituir "é um conjunto" por "é membro de algum conjunto não especificado", como essa instrução mudaria? Nós impomos alguma restrição a

dizendo que é um objeto de uma categoria não especificada? Certamente podemos apenas formar uma categoria na qual esse

é o único objeto?

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— User56834

@ Programmer2134, esse é um bom ponto. Faz sentido. Eu aceito o seu ponto.

— DW

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Mais um ponto da explicação da DW

Não há diferença entre dizer que é um grupo e dizer que é um objeto na categoria . Essas duas declarações são equivalentes. $x$ $x$ $\mathsf{Grp}$

Eu gostaria de fazer uma declaração mais forte:

Um conceito é definido por sua categoria

Pense nisso da perspectiva de um inventor que deseja explicar seu conceito. Suponha que o seu novo conceito é chamado . Primeiro, você pode precisar especificar quantas variações de instâncias de coisas que são podem existir. Vamos chamar essa coleção de instâncias . $M$ $M$ $M_0$

Agora, desde que você disse que há muitas coisas que são , você precisa explicar que cada uma delas se compara / se relaciona. Você explicar por que você acha que eles são diferentes instâncias de . Pode até haver várias maneiras pelas quais pode ser comparado com um ao outro. Ou, em alguns casos, pode não haver maneira de compará-los. Vamos denotar essa coleção de maneiras de comparar a como . $M$ $M$ $A \in M_0$ $B \in M_0$ $A$ $B$ $M(A,B)$

Você provavelmente já percebe que forma a coleção de objetos e é o conjunto básico de uma categoria. As leis da teoria das categorias estabelecem o comportamento esperado da 'comparação'. $M_0$ $M(A,B)$

Depois disso, a categoria fornece muitas propriedades padrão do conceito. Os exemplos variam de

"quais instâncias são essencialmente as mesmas --- isomorfismo",
"qual dessas duas instâncias é mais e qual é menos --- par seção-retração",
"Quantos dos elementos básicos estão dentro desta instância? --- homset do objeto terminal"

e assim por diante.

Quanto à pergunta que você faz no comentário

De que processo / estrutura matemática a teoria das categorias é uma teoria?

$\mathsf{Cat}$

— Apiwat Chantawibul
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Hmm. Não entendo exatamente como, se conhecemos a categoria de uma estrutura, sabemos tudo sobre essa estrutura. Não sabemos quais axiomas a estrutura satisfaz, sabemos?

— User56834

@ Programmer2134 Repensar a teoria dos conjuntos de Tom Leinster (que é um resumo do trabalho de Lawvere) é um bom exemplo. O trabalho define a própria teoria dos conjuntos definindo propriedades (os morfismos) da categoria de conjuntos (sem acessar 'dentro' de qualquer objeto para acessar qualquer suposição pré-existente que possamos ter sobre os conjuntos.)

— Apiwat Chantawibul

Então, você está dizendo que nenhuma informação é perdida sobre a teoria dos conjuntos apenas considerando a categoria de conjuntos e esquecendo seus axiomas?

— User56834

@ Programmer2134 Sim, na verdade, é mais como os axiomas que definem a teoria dos conjuntos ZFC que foram traduzidos em propriedades puramente de morfismos. Portanto, essa categoria, que afirmamos ter algumas propriedades nos morfismos, define a teoria dos conjuntos.

— Apiwat Chantawibul

Você conhece um texto que explica especificamente esse ponto sobre a teoria das categorias de maneira clara?

— User56834

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Conjuntos

x \in UMA

$x\in A$

$f$

(x, y) \in f e (x, z) \in f \Rightarrow y = z

$(x,y)\in f\text{ and }(x,z)\in f \Rightarrow y=z$

Filosofia. Os conjuntos têm uma estrutura interna - eles são completamente determinados por seus elementos.

Observação. Um sistema axiomático amplamente utilizado pelos teóricos dos conjuntos é o ZFC. Sua força é a simplicidade: existem apenas conjuntos e uma relação de associação. Por outro lado, muitos matemáticos acham que isso leva a um conceito de conjunto que diverge de sua compreensão e uso de conjuntos (compare abaixo Leinster ). De fato, a grande maioria dos matemáticos (exceto os teóricos dos conjuntos) parece não usar os axiomas do ZFC. No entanto, os conjuntos não se referem necessariamente ao ZFC (veja as categorias abaixo e o ETCS).

Categorias

UMA \to B

$A\rightarrow B$

$x\in A$ $\{y\})$

x : 1 1 \to UMA

$x:1\rightarrow A$

Filosofia. Objetos de uma categoria têm a priori nenhuma estrutura interna. Eles são caracterizados apenas por suas relações (morfismos) com outros objetos.

Observação. O conceito básico de categorias é função e isso coincide com o uso de conjuntos pela grande maioria dos matemáticos. Portanto, você pode ver as categorias como uma generalização conceitual da maneira como (a maioria) matemáticos de campos muito diferentes usam conjuntos em seu trabalho diário. Além das categorias (e toposes) como uma generalização, você pode dar uma olhada no sistema axiomático ETCS que é axiomatizante de conjuntos (compare abaixo Leinster e Lawvere ).

Questão. Qual é a diferença entre dizer x é um grupo e dizer que x está na categoria Grp?

$x$ $x$

Críticos

No caso do ZFC e do ETCS, essas abordagens podem ser traduzidas entre si, embora o ETCS seja mais fraco que o ZFC, mas (aparentemente) cubra a maioria das matemáticas (consulte MathStackExchange e Leinster). Em princípio (usando uma extensão do ETCS), você pode provar os mesmos resultados com as duas abordagens. Portanto, as filosofias acima mencionadas de ambos os conceitos não estão reivindicando uma distinção fundamental no que você pode expressar ou em quais resultados pode provar.

As expressões definidas e associação ao ZFC são conceitos abstratos, assim como os conceitos de categorias ou qualquer outro sistema axiomático, e podem significar qualquer coisa. Portanto, sob esse ponto de vista formal, afirmar que o ZFC está preocupado com a estrutura interna dos conjuntos, enquanto as categorias que lidam com as relações externas dos objetos entre si parecem inadequadas. Por outro lado, essa parece ser a filosofia ou intuição das teorias concernentes.

No entanto, na prática, você preferirá uma certa abordagem, por exemplo, por uma questão de clareza ou simplicidade ou porque algum conceito ou conexão com outra área evolui mais naturalmente do que em qualquer outro lugar.

Referências

Teoria da categoria para cientistas

Repensando a teoria dos conjuntos

Lawvere.Uma teoria elementar da categoria de conjuntos

Teoria de categorias sem conjuntos

— FWE
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