O que significa o operador líder de torniquete?

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Eu sei que autores diferentes usam notação diferente para representar a semântica da linguagem de programação. De fato, Guy Steele aborda esse problema em um vídeo interessante .

Gostaria de saber se alguém sabe se o operador líder de torniquete tem um significado bem reconhecido. Por exemplo, eu não entendo o operador principal no início do denominador do seguinte: $\vdash$

\frac{x : T_{1} ⊢ t_{2} : T_{2}}{⊢ λ x : T_{1} . t_{2} : T_{1} \to T_{2}}

$\frac{x:T_1 \vdash t_2:T_2}{\vdash \lambda x:T_1 . t_2 ~:~ T_1 \to T_2}$

Alguém pode me ajudar a entender? Obrigado.

type-theory denotational-semantics

— Jim Newton
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— leftaroundabout

Uau, essa pergunta tem mais de "1k" visualizações, que é mais do que a soma das visualizações de todas as outras 29 novas perguntas! Como verifiquei, nem a tag "teoria dos tipos" nem a tag "semântica denotacional" estão entre as 50 primeiras tags populares. Estou curioso sobre a causa por trás desse fenômeno. Eu não faço ideia. @DW? Eu tenho uma meta pergunta?

— John L.

Se não me engano, você deve mover o operador do torniquete ( ), na conclusão da regra, entre e . Eu também adicionaria a tag

⊢

$\vdash$

λ x : T_{1}

$\lambda x:T_1$

t_{2}

$t_2$ type-checking

— mchar 18/09/18

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@ Apass.Jack Acabou no Hot Network Questions, então está recebendo mais atenção por causa disso.

— JAB

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À esquerda da catraca, você encontra o contexto local, uma lista finita de suposições sobre os tipos de variáveis em questão.

x_{1} : T_{1}, \dots, x_{n} : T_{n} ⊢ e : T

$x_1:T_1, \ldots, x_n:T_n \vdash e:T$

Acima, pode ser zero, resultando em . Isso significa que nenhuma suposição sobre variáveis é feita. Geralmente, isto significa que é um termo fechada (sem quaisquer variáveis livres) tendo tipo . $n$ $\vdash e:T$ $e$ $T$

Freqüentemente, a regra mencionada é escrita de uma forma mais geral, onde pode haver mais hipóteses do que a mencionada na pergunta.

\frac{Γ, x : T_{1} ⊢ t : T_{2}}{Γ ⊢ (λ x : T_{1} . t) : T_{1} \to T_{2}}

$\dfrac{ \Gamma, x:T_1 \vdash t : T_2 }{ \Gamma\vdash (\lambda x:T_1. t) : T_1\to T_2 }$

Aqui, representa qualquer contexto e representa sua extensão obtida anexando a hipótese adicional à lista . É comum exigir que não apareça em , para que a extensão não "entre em conflito" com uma suposição anterior. $\Gamma$ $\Gamma, x:T_1$ $x:T_1$ $\Gamma$ $x$ $\Gamma$

— chi
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Como complemento para as outras respostas, observe que existem três níveis de "implicação" na digitação de derivações. E a mesma observação vale para derivações lógicas, uma vez que existe realmente uma correspondência entre as duas (denominada correspondência de Curry-Howard).

A primeira implicação é a seta que aparece nas fórmulas e corresponde à implicação lógica em uma fórmula (ou um tipo de função para o cálcio). $\lambda$

A segunda implicação é materializada pelo símbolo da catraca, e significa "assumindo todas as fórmulas à esquerda, a fórmula à direita vale". Em particular, a regra que você indica diz como se deve provar uma implicação: para provar , é preciso provar sob a suposição de que é válido. Em termos do cálculo, para provar que possui o tipo , deve-se mostrar que possui o tipo , assumindo que é uma variável do tipo (consulte a correspondência?). $A \Rightarrow B$ $B$ $A$ $\lambda$ $\lambda x.t$ $A \to B$ $t$ $B$ $x$ $A$

O terceiro nível de implicação é materializado pela barra horizontal e significa "se todas as premissas (elementos no topo) se mantêm, então a conclusão (o elemento na parte inferior) se mantém". Você pode vincular isso à interpretação da regra de digitação para a atração que você deu (consulte a explicação no parágrafo anterior). $\lambda$

— Rodolphe Lepigre
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Nos sistemas de verificação de tipos, ( ) representa a relação ternária sobre ambientes, expressões e tipos de tipos: . $\vdash$ $\vdash \texttt Env \times \texttt Exp \times \texttt Typ$

No seu exemplo, a expressão é digitado no tipo wrt. para um ambiente de tipo com uma suposição de tipo mapeando para alguma variável de tipo $t_2$ $T_2$ $T_1$ $x$

Neste contexto, um ambiente de tipo é uma função parcial que atribui tipos de variáveis, geralmente denotada com onde $\Gamma$ $\Gamma \in \texttt Env : Var \rightharpoonup Typ$

Observe que, o operador reserva sua funcionalidade independentemente de onde ela aparece, na premissa ou na conclusão da regra.

— mchar
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-1

Em todas as situações que eu vi, significa que há uma prova de assumindo que é válido. Se estiver vazio, isso significa que é uma tautologia: possui uma prova sem precisar de nenhuma suposição. $X\vdash Y$ $Y$ $X$ $X$ $Y$

— David Richerby
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mas se o que você diz é verdade, isso é estranho, porque é também o que a barra horizontal significa, certo? Que se o topo é verdadeiro, então o fundo é verdadeiro. Assim, com efeito, o

significaria se o

é verdadeiro, então

é incondicionalmente verdadeiro.

\frac{X}{⊢ Y}

$\frac{X}{\vdash Y}$

X

$X$

Y

$Y$

— Jim Newton

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A barra horizontal significa que a coisa na parte inferior é uma dedução imediata da coisa na parte superior. Embora concorde que parece muito estranho no seu exemplo que uma verdade incondicional é derivado de uma condicional ...

— David Richerby

A teoria dos tipos não é lógica. É claro que está relacionado de várias maneiras e (até certo ponto intencionalmente) usa notação semelhante, mas certamente não há conexão a priori com a relação de provabilidade, e muitas vezes também sem conexão a posteriori (pelo menos não com uma lógica remotamente razoável). Como escrito a resposta é, na melhor das hipóteses, enganador porque sugere que "

" é uma fórmula que praticamente não é, em teoria, tipo, por exemplo uma linguagem contendo fórmulas como

geralmente não é descrito e geralmente é impossível em uma meta-lógica padrão, por exemplo, para o cálculo linear lambda.

x : T_{1}

$x:T_1$

(x : T_{1}) \lor (y : T_{2})

$(x:T_1)\lor(y:T_2)$

— Derek Elkins saiu de SE

@DerekElkins É um sistema de provas e sistemas de provas são lógicas.

é precisamente uma proposição, e

é nada, mas a afirmação de que a proposição vale quando

detém. O fato de que disjunções de proposições não são fórmulas é simplesmente uma restrição da sintaxe da lógica.

x : T

$x\colon T$

Γ ⊢ x : T

$\Gamma\vdash x\colon T$

Γ

$\Gamma$

— David Richerby

Não é apenas disjunção. Nenhum de

,

ou

é uma fórmula. Ou você está dizendo que é uma lógica que só tem proposições atômicas? Mencionei a lógica linear como um exemplo. Na lógica linear ordenado, ele pode muito facilmente ser o caso que

detém enquanto

\neg (x : A)

$\neg (x:A)$

(x : A) \land (y : B)

$(x:A)\land(y:B)$

(x : A) \to (y : B)

$(x:A)\to(y:B)$

x : A, y : B ⊢ t : C

$x:A,y:B\vdash t:C$

não. O que conectivos fazer a vírgula e

correspondem aos que levam os "valores de verdade" de

,

e

e produzir o comportamento acima? Existe uma opção se a meta-lógica também for uma lógica linear ordenada, mas não explicaremos nada.

y : B, x : A ⊢ t : C

$y:B,x:A\vdash t:C$

⊢

$\vdash$

x : A

$x:A$

y : B

$y:B$

t : C

$t:C$

— Derek Elkins saiu de SE