Existem algoritmos de tempo subexponencial para problemas de NP-completo?

51

Existem problemas completos de NP que provaram algoritmos de tempo subexponencial?

Estou solicitando informações gerais de casos, não estou falando de casos especiais tratáveis aqui.

Por subexponencial, quero dizer uma ordem de crescimento acima dos polinômios, mas menor que exponencial, por exemplo . $n^{\log n}$

— ksb
fonte

10

O que você quer dizer com "subexponencial"? Se você quer dizer , a resposta é definitivamente sim. Se você quer dizer , acredito que a resposta é não.

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

2^{n^{o (1)}}

$2^{n^{o(1)}}$

— 21813 JeffE

57

Depende do que você quer dizer com subexponencial. Abaixo, explico alguns significados de "subexponencial" e o que acontece em cada caso. Cada uma dessas classes está contida nas classes abaixo.

I. $2^{n^{o(1)}}$

Se por subexpoencial você quer dizer , então uma conjectura na teoria da complexidade chamada ETH (Hipótese de Tempo Exponencial) implica que nenhum problema -hard pode ter um algoritmo com tempo de execução . $2^{n^{o(1)}}$ $\mathsf{NP}$ $2^{n^{o(1)}}$

Observe que esta classe é fechada em composição com polinômios. Se tivermos um algoritmo de tempo subexponencial para qualquer , poderemos combiná-lo com uma redução de tempo polinomial do SAT para obter um algoritmo subexponencial para o 3SAT que violaria o ETH. $\mathsf{NP}$

II , ou seja, para todos os $\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $0 < \epsilon$

A situação é semelhante à anterior.

Ele é fechado sob polinômios para que nenhum possa ser resolvido nesse período sem violar o ETH. $\mathsf{NP}$

III , ou seja, para alguns $\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon < 1$

Se por subexponencial você quer dizer para alguns então a resposta é sim, provavelmente existem esses problemas. $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon<1$

Tome um como SAT. Possui um algoritmo de força bruta que roda no tempo . Agora considere a versão acolchoada do SAT adicionando uma sequência de tamanho às entradas: $\mathsf{NP}$ $2^{O(n)}$ $n^k$

S A T^{'} = {⟨ φ, w ⟩ ∣ φ \in S A T and | w | = | φ |^{k}}

$SAT' = \{\langle \varphi,w\rangle \mid \varphi\in SAT \text{ and } |w|=|\varphi|^k \}$

Agora, esse problema é -hard e pode ser resolvido no tempo . $\mathsf{NP}$ $2^{O(n^\frac{1}{k})}$

IV $2^{o(n)}$

Isso contém a classe anterior, a resposta é semelhante.

V. , ou seja, para todos $\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon>0$

Isso contém a classe anterior, a resposta é semelhante.

VI , ou seja, para alguns $\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon<1$

Isso contém a classe anterior, a resposta é semelhante.

O que significa subexponencial?

"Acima do polinômio" não é um limite superior, mas um limite inferior e é referido como superpolinômio .

Funções como são chamados quasipolynomial , e como o nome indica são quase polinomial e longe de ser exponencial, subexponencial é geralmente usado para se referir a classe muito maior de funções com taxas muito mais rápido crescimento. $n^{\lg n}$

Como o nome indica, "subexponencial" significa mais lento que exponencial . Por exponencial, geralmente queremos dizer funções na classe ou na melhor classe (que é fechada sob composição com polinômios). $2^{\Theta(n)}$ $2^{n^{\Theta(1)}}$

Subexponencial deve estar próximo desses, mas menor. Existem diferentes maneiras de fazer isso e não há um significado padrão. Podemos substituir por nas duas definições de exponencial e obter I e IV. O bom deles é que eles são definidos uniformemente (nenhum quantificador acima de ). Podemos substituir por um coeficiente multiplicativo para todos , obtemos II e V. Eles estão próximos de I e IV, mas definidos de maneira não uniforme. A última opção é substituir por uma constante multiplicativa por alguns . Isso dá II e VI. $\Theta$ $o$ $\epsilon$ $\Theta$ $\epsilon$ $\epsilon>0$ $\Theta$ $\epsilon$ $\epsilon<1$

Qual deles deve ser chamado subexponencial é discutível. Geralmente, as pessoas usam o que precisam no trabalho e se referem a ele como subexponencial.

Eu sou minha preferência pessoal, é uma classe agradável: é fechado sob composição com polinômios e é definido uniformemente. É semelhante a que usa . $\mathsf{Exp}$ $2^{n^{O(1)}}$

II parece ser usado na definição da classe de complexidade . $\mathsf{SubExp}$

III é usado para limites superiores algorítmicos, como os mencionados na resposta de Pal.

IV também é comum.

V é usado para declarar a conjectura ETH.

As interseções ( II e V ) não são tão úteis para os limites superiores algorítmicos, seu principal uso parece ser a teoria da complexidade. Na prática, você não vai ver uma diferença entre I e II ou entre IV e V . IMHO, as três últimas definições ( IV , V , VI ) são muito sensíveis, podem ser úteis para problemas particulares, mas não são robustas, o que diminui sua utilidade como classes. Robustez e boas propriedades de fechamento fazem parte do motivo pelo qual classes de complexidade famosas, como , , , $\mathsf{L}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{PSpace}$ e são interessantes. $\mathsf{Exp}$

Summery

IMHO, as principais definições são I e III . Já temos algoritmos subexponenciais para no sentido de III e não podemos tê-los no sentido de I sem violar o ETH. $\mathsf{NP}$

— Kaveh
fonte

7

Esta resposta deve ir para a Wikipedia.

— Erel Segal-Halevi

32

Apenas para listar alguns, todos com tempo de execução mais ou menos ou : $2^{O(\sqrt{n} \log n)}n^{O(1)}$ $2^{O(\sqrt{n})}n^{O(1)}$

Arco de feedback definido nos torneios [Noga Alon, Daniel Lokshtanov, Saket Saurabh, ALP 2009]
Preenchimento mínimo e conclusão da cadeia [Fomin and Villanger SODA 2012]
Exclusão de borda dividida [Ghosh et al SWAT 2012]
Edição de cluster com clusters $t$ [Fomin et al STACS 2013]
Muitos problemas de bidimensionalidade, diferentes problemas gráficos em gráficos de gênero limitado e especialmente gráficos planares (consulte Demaine, Fomin, Hajiaghayi, Thilikos: algoritmos parametrizados subexponenciais em gráficos de gênero limitado e gráficos sem H menor )
Algoritmo parametrizado no tempo subexponencial para árvore Steiner em gráficos planares [Pilipczuk et al STACS 2013]
Conclusão trivialmente perfeita, conclusão de limite e conclusão com pseudos-divisões [D. et al STACS 2014]
Conclusão de intervalo [Bliznets et al]
Conclusão apropriada do intervalo [Bliznets et al]

— Pål GD
fonte

11

Nota: esses algoritmos são um tempo subexponencial no sentido em que são executados em (para alguns ), mas não no sentido em que são executados no tempo .

2^{O (n^{ϵ})}

$2^{O(n^\epsilon)}$

ϵ < 1

$\epsilon<1$

2^{n^{o (1)}}

$2^{n^{o(1)}}$

— Kaveh

Existem algoritmos de tempo subexponencial para problemas de NP-completo?

I.2no(1)2no(1)2^{n^{o(1)}}

II , ou seja, para todos os⋂0<ϵ2O(nϵ)⋂0<ϵ2O(nϵ)\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}2O(nϵ)2O(nϵ)2^{O(n^\epsilon)} 0<ϵ0<ϵ0 < \epsilon

III , ou seja, para alguns⋃ϵ<12O(nϵ)⋃ϵ<12O(nϵ)\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}2O(nϵ)2O(nϵ)2^{O(n^\epsilon)} ϵ<1ϵ<1\epsilon < 1

IV 2o(n)2o(n)2^{o(n)}

V. , ou seja, para todos⋂0<ϵ2ϵn⋂0<ϵ2ϵn\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}2ϵn2ϵn2^{\epsilon n} ϵ>0ϵ>0\epsilon>0

VI , ou seja, para alguns⋃ϵ<12ϵn⋃ϵ<12ϵn\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}2ϵn2ϵn2^{\epsilon n} ϵ<1ϵ<1\epsilon<1

O que significa subexponencial?

I. $2^{n^{o(1)}}$

II , ou seja, para todos os $\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $0 < \epsilon$

III , ou seja, para alguns $\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon < 1$

IV $2^{o(n)}$

V. , ou seja, para todos $\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon>0$

VI , ou seja, para alguns $\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon<1$