Exigir exclusividade de respostas válidas para Merlin limita o poder dos protocolos Arthur-Merlin?

Preâmbulo.

A classe de complexidade AM são os problemas que podem ser resolvidos por um sistema de prova interativa de duas etapas entre um provador "Merlin" e um verificador "Arthur". Um problema - que testa alguma propriedade de um objeto X - está em AM se:

Para casos SIM , para uma mensagem aleatória de "desafio" (de comprimento polinomial) que Arthur gera, com alta probabilidade, Merlin pode formular uma resposta (comprimento de polinômio) que Arthur pode usar como evidência de que X tem a propriedade;
Para NENHUM casos, por uma mensagem de desafio aleatório Arthur gera, com alta probabilidade Merlin não pode formular qualquer resposta que pode ser usado como prova para a propriedade que está sendo testado para em X .

- A classe descrita não muda se exigirmos que Merlin dê uma resposta útil não apenas com alta probabilidade, mas para qualquer desafio que Arthur possa apresentar; podemos dizer, neste caso, que exigimos que a resposta de Merlin seja sempre válida para instâncias YES , e o que Arthur testa é a validade da resposta. Portanto, se Merlin produz uma resposta inválida, Arthur sabe que a instância do problema é NO . Essa é a configuração que eu prefiro considerar.

Um exemplo é o não isomorfismo do gráfico: dados os gráficos G e H com o mesmo conjunto de rótulos de vértices, Arthur pode selecionar aleatoriamente um dos gráficos e produzir uma versão "embaralhada" F , permutando seus rótulos de vértice, enviando uma apresentação para Merlin. . Se os dois gráficos não são isomórficos, Merlin pode identificar qual de G ou H Arthur escolheu, determinando se F ≅ G ou F ≅ H , e pode responder identificando qual dos dois F é isomórfico. Se os dois gráficos G e H são isomórficos, Merlin não consegue distinguir qual gráficoF veio e qualquer resposta que ele der apenas pode ser correta por acaso. Portanto, para instâncias do SIM, o Merlin sempre pode enviar uma resposta válida para qualquer desafio; em nenhuma instância, qualquer resposta que Merlin possa enviar será com alta probabilidade inválida.

No problema acima, não apenas existe uma resposta válida que Merlin pode dar a Arthur para cada desafio, mas de fato há uma resposta válida única : ou seja, indique qual de G ou H Arthur escolheu, dado que isso pode ser determinado por identificar qual é isomorfa a F .

Questão.

A imposição de uma restrição nesse sentido - que, para instâncias YES , para qualquer desafio que Arthur possa enviar, há exatamente uma resposta válida para Merlin - produz uma classe mais restritiva, no sentido de produzir uma classe que não é conhecida como AM ?

cc.complexity-theory interactive-proofs unique-solution

— Niel de Beaudrap
fonte

Antes de considerar se é igual a AM ou não, até falho em como provar que NP está contido em sua classe….

— Tsuyoshi Ito 31/01

Se exigirmos que Merlin tenha uma resposta válida apenas com alta probabilidade, a classe conterá NP (e, eu acho, todo AM): podemos fazer Arthur executar a redução de Valiant – Vazirani para Unique-SAT.

— Emil Jeřábek apoia Monica

@Emil: Eu entendo que se “alta probabilidade” é 1 / poli, mas é possível aumentar essa probabilidade para, digamos, uma constante?

— Tsuyoshi Ito 31/01

Justo, é realmente uma probabilidade bastante pequena. Não sei como fazer disso uma constante.

— Emil Jeřábek apoia Monica

Você está considerando protocolos de moeda pública ou privada? Pela definição, parece que você está pensando em protocolos de moeda pública, mas o protocolo para não-isomorfismo de gráfico que você descreveu não é um protocolo de moeda pública.

— Tsuyoshi Ito

O artigo de Koiran, Nullstellensatz de Hilbert, está na Hierarquia Polinomial, fornece um protocolo Arthur-Merlin de moeda pública para estabelecer que um sistema de $m$ equações em $n$ incógnitas tem uma solução em $\mathbb{C}^n$ , contingente na Hipótese Generalizada de Riemann. Aqui Merlin encontra um $p$ primo com $H(p)=0$ para algum hash aleatório $H$ , juntamente com uma solução $(a_0,a_1,\cdots, a_n)$ para cada uma das $m$ equações $\bmod p$

Se o sistema de equações não tiver solução , haverá apenas um número finito de módulo que existe uma solução. Se o sistema não tem uma solução , então incondicionalmente haverá uma densidade positiva de com uma solução, eo GRH permite que o com uma solução são "equidistributed" em certo sentido, de tal forma que Merlin recebe uma vitória. $\bmod p$ $p$ $\bmod p$ $p$ $p$

Embora Koiran dê um exemplo de um sistema solucionável em que a densidade de é exponencialmente pequena, Koiran sugere que, se o sistema for solucionável em , na maioria dos casos haverá um grande número de (e um grande número de ); de fato, cerca de primos devem ter uma solução IIRCC. $p$ $\mathbb{C}^n$ $p$ $a$ $1-1/e$

Assim, no problema acima, não existe apenas uma resposta válida que Merlin possa dar a Arthur para cada desafio, mas, de fato, pode haver um grande número de respostas válidas.

Distinguir os sistemas fáceis de equações com soluções modulo muitos dos sistemas rígidos de equações com poucos ou apenas um parece exigir propriedades determinantes de um grupo Galois do sistema de equações. $p$ $p$

— Mark S
fonte