Sobre a complexidade da Minimização de Largura de Banda

O problema da largura de banda do gráfico é definido da seguinte maneira. Dado um gráfico , um layout f de G é um mapeamento individual dos vértices de G para os números inteiros { 1 , … , | V | } . A largura de banda de f é definida como$G=(V,E)$ $f$$G$$G$$\{1, \ldots, |V|\}$$f$

$bw(f) = \max \{|f(u) - f(v)| \mid \{u,v\} \in E\}$

A largura de banda de$G$ , denominada , é definida como a largura de banda mínima de um layout, sendo o mínimo assumido em todos os layouts possíveis.$bw(G)$

A questão da decisão é: dado um gráfico e um número inteiro , ?k b w ( G ) ≤ $G$$k$$bw(G) \le k$

Sabe-se que esse problema é NP-completo, mesmo para árvores de grau máximo três [ Resultados de complexidade para minimização de largura de banda . Garey, Graham, Johnson e Knuth, SIAM J. Appl. Math. Vol. 34, nº 3, 1978]. Os autores mostram que é possível testar se um gráfico tem largura de banda no máximo duas no tempo polinomial. O caso estava aberto.$bw \le 3$

A complexidade do caso conhecida? O que sabemos sobre a complexidade do problema quando não faz parte da entrada, mas uma constante fixa pelo menos ?k $bw \le 3$$k$$4$

Referências seria bom.

O problema da largura de banda é -hard para todos os . Foi demonstrado por Bodlaender et al. em "Além da completude de NP para problemas de largura limitada". Veja o artigo .$W[t]$$t$

Por outro lado, também é sabido que para qualquer , se um determinado gráfico tem largura de banda no máximo pode ser decidido em . Isso implica que o problema da largura de banda está no . Veja o outro artigo de Saxe.k O ( f ( k ) n k + 1 ) X $k$$k$$O(f(k)n^{k+1})$$XP$